Theorem fconstfvOLD 6134

Description: A constant function expressed in terms of its functionality, domain, and value. See also fconst2 6127. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.) Obsolete version of fconstfv 6133 as of 25-Mar-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
fconstfvOLD

Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem fconstfvOLD

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5736	. . 3
2		fvconst 6089	. . . 4
3	2	ralrimiva 2871	. . 3
4	1, 3	jca 532	. 2
5		fneq2 5675	. . . . . . 7
6		fn0 5705	. . . . . . 7
7	5, 6	syl6bb 261	. . . . . 6
8		f0 5771	. . . . . . 7
9		feq1 5718	. . . . . . 7
10	8, 9	mpbiri 233	. . . . . 6
11	7, 10	syl6bi 228	. . . . 5
12		feq2 5719	. . . . 5
13	11, 12	sylibrd 234	. . . 4
14	13	adantrd 468	. . 3
15		fvelrnb 5920	. . . . . . . . . 10
16		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . 15
17	16	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . . . 14
18	17	rspccva 3209	. . . . . . . . . . . . 13
19	18	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . 12
20	19	rexbidva 2965	. . . . . . . . . . 11
21		r19.9rzv 3923	. . . . . . . . . . . 12
22	21	bicomd 201	. . . . . . . . . . 11
23	20, 22	sylan9bbr 700	. . . . . . . . . 10
24	15, 23	sylan9bbr 700	. . . . . . . . 9
25		elsn 4043	. . . . . . . . . 10
26		eqcom 2466	. . . . . . . . . 10
27	25, 26	bitr2i 250	. . . . . . . . 9
28	24, 27	syl6bb 261	. . . . . . . 8
29	28	eqrdv 2454	. . . . . . 7
30	29	an32s 804	. . . . . 6
31	30	exp31 604	. . . . 5
32	31	imdistand 692	. . . 4
33		df-fo 5599	. . . . 5
34		fof 5800	. . . . 5
35	33, 34	sylbir 213	. . . 4
36	32, 35	syl6 33	. . 3
37	14, 36	pm2.61ine 2770	. 2
38	4, 37	impbii 188	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  c0 3784  {csn 4029  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  `cfv 5593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fo 5599  df-fv 5601