Theorem ffvresb 6062

Description: A necessary and sufficient condition for a restricted function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ffvresb

Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem ffvresb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdm 5740	. . . . . 6
2		dmres 5299	. . . . . . 7
3		inss2 3718	. . . . . . 7
4	2, 3	eqsstri 3533	. . . . . 6
5	1, 4	syl6eqssr 3554	. . . . 5
6	5	sselda 3503	. . . 4
7		fvres 5885	. . . . . 6
8	7	adantl 466	. . . . 5
9		ffvelrn 6029	. . . . 5
10	8, 9	eqeltrrd 2546	. . . 4
11	6, 10	jca 532	. . 3
12	11	ralrimiva 2871	. 2
13		simpl 457	. . . . . . 7
14	13	ralimi 2850	. . . . . 6
15		dfss3 3493	. . . . . 6
16	14, 15	sylibr 212	. . . . 5
17		funfn 5622	. . . . . 6
18		fnssres 5699	. . . . . 6
19	17, 18	sylanb 472	. . . . 5
20	16, 19	sylan2 474	. . . 4
21		simpr 461	. . . . . . . 8
22	7	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
23	21, 22	syl5ibr 221	. . . . . . 7
24	23	ralimia 2848	. . . . . 6
25	24	adantl 466	. . . . 5
26		fnfvrnss 6059	. . . . 5
27	20, 25, 26	syl2anc 661	. . . 4
28		df-f 5597	. . . 4
29	20, 27, 28	sylanbrc 664	. . 3
30	29	ex 434	. 2
31	12, 30	impbid2 204	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  i^icin 3474  C_wss 3475  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593

This theorem is referenced by:  lmbr2  19760  lmff  19802  lmmbr2  21698  iscau2  21716  sseqf  28331  fourierdlem97  31986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601