MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fgtr Unicode version

Theorem fgtr 17914
Description: If is a member of the filter, then truncating to and regenerating the behavior outside using recovers the original filter. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgtr

Proof of Theorem fgtr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 17872 . . . . . . . 8
2 fbncp 17863 . . . . . . . 8
31, 2sylan 458 . . . . . . 7
4 filelss 17876 . . . . . . . 8
5 trfil3 17912 . . . . . . . 8
64, 5syldan 457 . . . . . . 7
73, 6mpbird 224 . . . . . 6
8 filfbas 17872 . . . . . 6
97, 8syl 16 . . . . 5
10 restsspw 13651 . . . . . 6
11 sspwb 4405 . . . . . . 7
124, 11sylib 189 . . . . . 6
1310, 12syl5ss 3351 . . . . 5
14 filtop 17879 . . . . . 6
1514adantr 452 . . . . 5
16 fbasweak 17889 . . . . 5
179, 13, 15, 16syl3anc 1184 . . . 4
181adantr 452 . . . 4
19 trfilss 17913 . . . 4
20 fgss 17897 . . . 4
2117, 18, 19, 20syl3anc 1184 . . 3
22 fgfil 17899 . . . 4
2322adantr 452 . . 3
2421, 23sseqtrd 3376 . 2
25 filelss 17876 . . . . . . 7
2625ex 424 . . . . . 6
2726adantr 452 . . . . 5
28 elrestr 13648 . . . . . . . 8
29283expa 1153 . . . . . . 7
30 inss1 3553 . . . . . . 7
31 sseq1 3361 . . . . . . . 8
3231rspcev 3044 . . . . . . 7
3329, 30, 32sylancl 644 . . . . . 6
3433ex 424 . . . . 5
3527, 34jcad 520 . . . 4
36 elfg 17895 . . . . 5
3717, 36syl 16 . . . 4
3835, 37sylibrd 226 . . 3
3938ssrdv 3346 . 2
4024, 39eqssd 3357 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 177  /\wa 359  =wceq 1652  e.wcel 1725  E.wrex 2698  \cdif 3309  i^icin 3311  C_wss 3312  ~Pcpw 3791  `cfv 5446  (class class class)co 6073   crest 13640   cfbas 16681   cfg 16682   cfil 17869
This theorem is referenced by:  cfilres  19241
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-rest 13642  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-fil 17870
  Copyright terms: Public domain W3C validator