MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fgtr Unicode version

Theorem fgtr 17973
Description: If is a member of the filter, then truncating to and regenerating the behavior outside using recovers the original filter. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgtr

Proof of Theorem fgtr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 17931 . . . . . . . 8
2 fbncp 17922 . . . . . . . 8
31, 2sylan 459 . . . . . . 7
4 filelss 17935 . . . . . . . 8
5 trfil3 17971 . . . . . . . 8
64, 5syldan 458 . . . . . . 7
73, 6mpbird 225 . . . . . 6
8 filfbas 17931 . . . . . 6
97, 8syl 16 . . . . 5
10 restsspw 13710 . . . . . 6
11 sspwb 4452 . . . . . . 7
124, 11sylib 190 . . . . . 6
1310, 12syl5ss 3348 . . . . 5
14 filtop 17938 . . . . . 6
1514adantr 453 . . . . 5
16 fbasweak 17948 . . . . 5
179, 13, 15, 16syl3anc 1185 . . . 4
181adantr 453 . . . 4
19 trfilss 17972 . . . 4
20 fgss 17956 . . . 4
2117, 18, 19, 20syl3anc 1185 . . 3
22 fgfil 17958 . . . 4
2322adantr 453 . . 3
2421, 23sseqtrd 3373 . 2
25 filelss 17935 . . . . . . 7
2625ex 425 . . . . . 6
2726adantr 453 . . . . 5
28 elrestr 13707 . . . . . . . 8
29283expa 1154 . . . . . . 7
30 inss1 3549 . . . . . . 7
31 sseq1 3358 . . . . . . . 8
3231rspcev 3061 . . . . . . 7
3329, 30, 32sylancl 645 . . . . . 6
3433ex 425 . . . . 5
3527, 34jcad 521 . . . 4
36 elfg 17954 . . . . 5
3717, 36syl 16 . . . 4
3835, 37sylibrd 227 . . 3
3938ssrdv 3343 . 2
4024, 39eqssd 3354 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  =wceq 1654  e.wcel 1728  E.wrex 2713  \cdif 3306  i^icin 3308  C_wss 3309  ~Pcpw 3826  `cfv 5501  (class class class)co 6129   crest 13699   cfbas 16740   cfg 16741   cfil 17928
This theorem is referenced by:  cfilres  19300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4354  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-op 3850  df-uni 4044  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-id 4539  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-1st 6399  df-2nd 6400  df-rest 13701  df-fbas 16750  df-fg 16751  df-fil 17929
  Copyright terms: Public domain W3C validator