Theorem ficard 8961

Description: A set is finite iff its cardinal is a natural number. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
ficard

Proof of Theorem ficard

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7559	. . 3
2		carden 8947	. . . . 5
3		cardnn 8365	. . . . . . . 8
4		eqtr 2483	. . . . . . . . 9
5	4	expcom 435	. . . . . . . 8
6	3, 5	syl 16	. . . . . . 7
7		eleq1a 2540	. . . . . . 7
8	6, 7	syld 44	. . . . . 6
9	8	adantl 466	. . . . 5
10	2, 9	sylbird 235	. . . 4
11	10	rexlimdva 2949	. . 3
12	1, 11	syl5bi 217	. 2
13		cardnn 8365	. . . . . . . 8
14	13	eqcomd 2465	. . . . . . 7
15	14	adantl 466	. . . . . 6
16		carden 8947	. . . . . 6
17	15, 16	mpbid 210	. . . . 5
18	17	ex 434	. . . 4
19	18	ancld 553	. . 3
20		breq2 4456	. . . . 5
21	20	rspcev 3210	. . . 4
22	21, 1	sylibr 212	. . 3
23	19, 22	syl6 33	. 2
24	12, 23	impbid 191	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  `cfv 5593  com 6700  cen 7533  cfn 7536  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  cfpwsdom  8980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-ac2 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-ac 8518