MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ficardom Unicode version

Theorem ficardom 8363
Description: The cardinal number of a finite set is a finite ordinal. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
ficardom

Proof of Theorem ficardom
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 7559 . . 3
21biimpi 194 . 2
3 finnum 8350 . . . . . . . 8
4 cardid2 8355 . . . . . . . 8
53, 4syl 16 . . . . . . 7
6 entr 7587 . . . . . . 7
75, 6sylan 471 . . . . . 6
8 cardon 8346 . . . . . . 7
9 onomeneq 7727 . . . . . . 7
108, 9mpan 670 . . . . . 6
117, 10syl5ib 219 . . . . 5
12 eleq1a 2540 . . . . 5
1311, 12syld 44 . . . 4
1413expcomd 438 . . 3
1514rexlimiv 2943 . 2
162, 15mpcom 36 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808   class class class wbr 4452   con0 4883  domcdm 5004  `cfv 5593   com 6700   cen 7533   cfn 7536   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  cardnn  8365  isinffi  8394  finnisoeu  8515  iunfictbso  8516  ficardun  8603  ficardun2  8604  pwsdompw  8605  ackbij1lem5  8625  ackbij1lem9  8629  ackbij1lem10  8630  ackbij1lem14  8634  ackbij1b  8640  ackbij2lem2  8641  ackbij2  8644  fin23lem22  8728  fin1a2lem11  8811  domtriomlem  8843  pwfseqlem4a  9060  pwfseqlem4  9061  hashkf  12407  hashginv  12409  hashcard  12427  hashcl  12428  hashdom  12447  hashun  12450  ackbijnn  13640  mreexexd  15045  ishashinf  27606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341
  Copyright terms: Public domain W3C validator