MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fictb Unicode version

Theorem fictb 8646
Description: A set is countable iff its collection of finite intersections is countable. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fictb

Proof of Theorem fictb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7547 . . . . 5
21adantl 466 . . . 4
3 reldom 7542 . . . . . 6
43brrelex2i 5046 . . . . 5
5 omelon2 6712 . . . . . . . . . . 11
65ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
7 pwexg 4636 . . . . . . . . . . . . . 14
87ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
9 inex1g 4595 . . . . . . . . . . . . 13
108, 9syl 16 . . . . . . . . . . . 12
11 difss 3630 . . . . . . . . . . . 12
12 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . . 12
1310, 11, 12mpisyl 18 . . . . . . . . . . 11
14 f1f1orn 5832 . . . . . . . . . . . . . . 15
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
16 f1opwfi 7844 . . . . . . . . . . . . . 14
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
18 f1oeng 7554 . . . . . . . . . . . . 13
1910, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
20 pwexg 4636 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 inex1g 4595 . . . . . . . . . . . . . . 15
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
24 f1f 5786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
26 frn 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
28 sspwb 4701 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2927, 28sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 ssrin 3722 . . . . . . . . . . . . . . 15
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
32 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . . . . 14
3323, 31, 32sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13
34 sneq 4039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
35 pweq 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3634, 35xpeq12d 5029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3736cbviunv 4369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
38 iuneq1 4344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3937, 38syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4039fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4140cbvmptv 4543 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241ackbij1 8639 . . . . . . . . . . . . . 14
43 f1oeng 7554 . . . . . . . . . . . . . 14
4423, 42, 43sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13
45 domentr 7594 . . . . . . . . . . . . 13
4633, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
47 endomtr 7593 . . . . . . . . . . . 12
4819, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
49 domtr 7588 . . . . . . . . . . 11
5013, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
51 ondomen 8439 . . . . . . . . . 10
526, 50, 51syl2anc 661 . . . . . . . . 9
53 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
5453fifo 7912 . . . . . . . . . 10
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
56 fodomnum 8459 . . . . . . . . 9
5752, 55, 56sylc 60 . . . . . . . 8
58 domtr 7588 . . . . . . . 8
5957, 50, 58syl2anc 661 . . . . . . 7
6059ex 434 . . . . . 6
6160exlimdv 1724 . . . . 5
624, 61sylan2 474 . . . 4
632, 62mpd 15 . . 3
6463ex 434 . 2
65 fvex 5881 . . . 4
66 ssfii 7899 . . . 4
67 ssdomg 7581 . . . 4
6865, 66, 67mpsyl 63 . . 3
69 domtr 7588 . . . 4
7069ex 434 . . 3
7168, 70syl 16 . 2
7264, 71impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  \cdif 3472  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  |^|cint 4286  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593   com 6700   cen 7533   cdom 7534   cfn 7536   cfi 7890   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  2ndcsb  19950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fi 7891  df-card 8341  df-acn 8344  df-cda 8569
  Copyright terms: Public domain W3C validator