MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomdm Unicode version

Theorem fidomdm 7822
Description: Any finite set dominates its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fidomdm

Proof of Theorem fidomdm
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmresv 5470 . 2
2 finresfin 7765 . . . 4
3 fvex 5881 . . . . . . 7
4 eqid 2457 . . . . . . 7
53, 4fnmpti 5714 . . . . . 6
6 dffn4 5806 . . . . . 6
75, 6mpbi 208 . . . . 5
8 relres 5306 . . . . . 6
9 reldm 6851 . . . . . 6
10 foeq3 5798 . . . . . 6
118, 9, 10mp2b 10 . . . . 5
127, 11mpbir 209 . . . 4
13 fodomfi 7819 . . . 4
142, 12, 13sylancl 662 . . 3
15 resss 5302 . . . 4
16 ssdomg 7581 . . . 4
1715, 16mpi 17 . . 3
18 domtr 7588 . . 3
1914, 17, 18syl2anc 661 . 2
201, 19syl5eqbrr 4486 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  Relwrel 5009  Fnwfn 5588  -onto->wfo 5591  `cfv 5593   c1st 6798   cdom 7534   cfn 7536
This theorem is referenced by:  dmfi  7823  hashfun  12495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540
  Copyright terms: Public domain W3C validator