Theorem fidomtri 8395

Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fidomtri

Proof of Theorem fidomtri

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 7663	. 2
2		finnum 8350	. . . . . 6
3	2	adantr 465	. . . . 5
4		finnum 8350	. . . . 5
5		domtri2 8391	. . . . 5
6	3, 4, 5	syl2an 477	. . . 4
7	6	biimprd 223	. . 3
8		isinffi 8394	. . . . . . 7
9	8	ancoms 453	. . . . . 6
10	9	adantlr 714	. . . . 5
11		brdomg 7546	. . . . . 6
12	11	ad2antlr 726	. . . . 5
13	10, 12	mpbird 232	. . . 4
14	13	a1d 25	. . 3
15	7, 14	pm2.61dan 791	. 2
16	1, 15	impbid2 204	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  E.wex 1612  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  domcdm 5004  -1-1->wf1 5590  cdom 7534  csdm 7535  cfn 7536  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  fidomtri2  8396  fin56  8794  hauspwdom  20002  harinf  30976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341