MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiin Unicode version

Theorem fiin 7902
Description: The elements of are closed under finite intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fiin

Proof of Theorem fiin
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5898 . . . . . 6
2 elfi 7893 . . . . . 6
31, 2mpdan 668 . . . . 5
43ibi 241 . . . 4
54adantr 465 . . 3
6 simpr 461 . . . 4
7 elfi 7893 . . . . . 6
87ancoms 453 . . . . 5
91, 8sylan 471 . . . 4
106, 9mpbid 210 . . 3
11 elin 3686 . . . . . . . . 9
12 elin 3686 . . . . . . . . 9
13 elpwi 4021 . . . . . . . . . . . . . 14
14 elpwi 4021 . . . . . . . . . . . . . 14
1513, 14anim12i 566 . . . . . . . . . . . . 13
16 unss 3677 . . . . . . . . . . . . 13
1715, 16sylib 196 . . . . . . . . . . . 12
18 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
19 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
2018, 19unex 6598 . . . . . . . . . . . . 13
2120elpw 4018 . . . . . . . . . . . 12
2217, 21sylibr 212 . . . . . . . . . . 11
23 unfi 7807 . . . . . . . . . . 11
2422, 23anim12i 566 . . . . . . . . . 10
2524an4s 826 . . . . . . . . 9
2611, 12, 25syl2anb 479 . . . . . . . 8
27 elin 3686 . . . . . . . 8
2826, 27sylibr 212 . . . . . . 7
29 ineq12 3694 . . . . . . . 8
30 intun 4319 . . . . . . . 8
3129, 30syl6eqr 2516 . . . . . . 7
32 inteq 4289 . . . . . . . . 9
3332eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
3433rspcev 3210 . . . . . . 7
3528, 31, 34syl2an 477 . . . . . 6
3635an4s 826 . . . . 5
3736rexlimdvaa 2950 . . . 4
3837rexlimiva 2945 . . 3
395, 10, 38sylc 60 . 2
40 inex1g 4595 . . . 4
41 elfi 7893 . . . 4
4240, 1, 41syl2anc 661 . . 3
4342adantr 465 . 2
4439, 43mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808   cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  |^|cint 4286  `cfv 5593   cfn 7536   cfi 7890
This theorem is referenced by:  dffi2  7903  inficl  7905  elfiun  7910  dffi3  7911  fibas  19479  ordtbas2  19692  fsubbas  20368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540  df-fi 7891
  Copyright terms: Public domain W3C validator