Theorem fiin 7902

Description: The elements of are closed under finite intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fiin

Proof of Theorem fiin

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 5898	. . . . . 6
2		elfi 7893	. . . . . 6
3	1, 2	mpdan 668	. . . . 5
4	3	ibi 241	. . . 4
5	4	adantr 465	. . 3
6		simpr 461	. . . 4
7		elfi 7893	. . . . . 6
8	7	ancoms 453	. . . . 5
9	1, 8	sylan 471	. . . 4
10	6, 9	mpbid 210	. . 3
11		elin 3686	. . . . . . . . 9
12		elin 3686	. . . . . . . . 9
13		elpwi 4021	. . . . . . . . . . . . . 14
14		elpwi 4021	. . . . . . . . . . . . . 14
15	13, 14	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . 13
16		unss 3677	. . . . . . . . . . . . 13
17	15, 16	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12
18		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . 14
19		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . 14
20	18, 19	unex 6598	. . . . . . . . . . . . 13
21	20	elpw 4018	. . . . . . . . . . . 12
22	17, 21	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11
23		unfi 7807	. . . . . . . . . . 11
24	22, 23	anim12i 566	. . . . . . . . . 10
25	24	an4s 826	. . . . . . . . 9
26	11, 12, 25	syl2anb 479	. . . . . . . 8
27		elin 3686	. . . . . . . 8
28	26, 27	sylibr 212	. . . . . . 7
29		ineq12 3694	. . . . . . . 8
30		intun 4319	. . . . . . . 8
31	29, 30	syl6eqr 2516	. . . . . . 7
32		inteq 4289	. . . . . . . . 9
33	32	eqeq2d 2471	. . . . . . . 8
34	33	rspcev 3210	. . . . . . 7
35	28, 31, 34	syl2an 477	. . . . . 6
36	35	an4s 826	. . . . 5
37	36	rexlimdvaa 2950	. . . 4
38	37	rexlimiva 2945	. . 3
39	5, 10, 38	sylc 60	. 2
40		inex1g 4595	. . . 4
41		elfi 7893	. . . 4
42	40, 1, 41	syl2anc 661	. . 3
43	42	adantr 465	. 2
44	39, 43	mpbird 232	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  |^|cint 4286  `cfv 5593  cfn 7536  cfi 7890

This theorem is referenced by:  dffi2  7903  inficl  7905  elfiun  7910  dffi3  7911  fibas  19479  ordtbas2  19692  fsubbas  20368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540  df-fi 7891