MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filin Unicode version

Theorem filin 19131
Description: A filter is closed under taking intersections. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filin

Proof of Theorem filin
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 19125 . . 3
2 fbasssin 19113 . . 3
31, 2syl3an1 1236 . 2
4 inss1 3547 . . . . 5
5 filelss 19129 . . . . 5
64, 5syl5ss 3344 . . . 4
7 filss 19130 . . . . . . . 8
873exp2 1190 . . . . . . 7
98com23 75 . . . . . 6
109imp 422 . . . . 5
1110rexlimdv 2819 . . . 4
126, 11syldan 460 . . 3
13123adant3 993 . 2
143, 13mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  /\w3a 950  e.wcel 1749  E.wrex 2695  i^icin 3304  C_wss 3305  `cfv 5390   cfbas 17514   cfil 19122
This theorem is referenced by:  isfil2  19133  filfi  19136  filinn0  19137  infil  19140  filcon  19160  filuni  19162  trfil2  19164  trfilss  19166  ufprim  19186  filufint  19197  rnelfmlem  19229  rnelfm  19230  fmfnfmlem2  19232  fmfnfmlem3  19233  fmfnfmlem4  19234  fmfnfm  19235  txflf  19283  fclsrest  19301  metustOLD  19842  metust  19843  filnetlem3  28272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-op 3862  df-uni 4067  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-id 4607  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fv 5398  df-fbas 17524  df-fil 19123
  Copyright terms: Public domain W3C validator