Theorem filnetlem3 26676

Description: Lemma for filnet 26678. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
filnet.h
filnet.d

Assertion

Ref	Expression
filnetlem3

Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,

Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,)

Proof of Theorem filnetlem3

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmresi 5244	. . . . . 6
2		filnet.h	. . . . . . . . 9
3		filnet.d	. . . . . . . . 9
4	2, 3	filnetlem2 26675	. . . . . . . 8
5	4	simpli 446	. . . . . . 7
6		dmss 5117	. . . . . . 7
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6
8	1, 7	eqsstr3i 3372	. . . . 5
9		ssun1 3503	. . . . 5
10	8, 9	sstri 3350	. . . 4
11		dmrnssfld 5176	. . . 4
12	10, 11	sstri 3350	. . 3
13	4	simpri 450	. . . . 5
14		uniss 4067	. . . . 5
15		uniss 4067	. . . . 5
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . 4
17		unixpss 5034	. . . . 5
18		unidm 3483	. . . . 5
19	17, 18	sseqtri 3373	. . . 4
20	16, 19	sstri 3350	. . 3
21	12, 20	eqssi 3357	. 2
22		filelss 17920	. . . . . . . 8
23		xpss2 5031	. . . . . . . 8
24	22, 23	syl 16	. . . . . . 7
25	24	ralrimiva 2800	. . . . . 6
26		ss2iun 4141	. . . . . 6
27	25, 26	syl 16	. . . . 5
28		iunxpconst 4978	. . . . 5
29	27, 28	syl6sseq 3387	. . . 4
30	2, 29	syl5eqss 3385	. . 3
31	5	a1i 11	. . . . 5
32	3	relopabi 5046	. . . . 5
33	31, 32	jctil 525	. . . 4
34		simpl 445	. . . . . . . . . 10
35	30	adantr 453	. . . . . . . . . . . 12
36		simprl 734	. . . . . . . . . . . 12
37	35, 36	sseldd 3342	. . . . . . . . . . 11
38		xp1st 6430	. . . . . . . . . . 11
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . . 10
40		simprr 735	. . . . . . . . . . . 12
41	35, 40	sseldd 3342	. . . . . . . . . . 11
42		xp1st 6430	. . . . . . . . . . 11
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . . . 10
44		filinn0 17928	. . . . . . . . . 10
45	34, 39, 43, 44	syl3anc 1185	. . . . . . . . 9
46		n0 3629	. . . . . . . . 9
47	45, 46	sylib 190	. . . . . . . 8
48	36	adantr 453	. . . . . . . . . 10
49		filin 17922	. . . . . . . . . . . . . 14
50	34, 39, 43, 49	syl3anc 1185	. . . . . . . . . . . . 13
51	50	adantr 453	. . . . . . . . . . . 12
52		simpr 449	. . . . . . . . . . . 12
53		id 21	. . . . . . . . . . . . 13
54	53	opeliunxp2 5059	. . . . . . . . . . . 12
55	51, 52, 54	sylanbrc 647	. . . . . . . . . . 11
56	55, 2	syl6eleqr 2538	. . . . . . . . . 10
57		fvex 5789	. . . . . . . . . . . . . 14
58	57	inex1 4387	. . . . . . . . . . . . 13
59		vex 2972	. . . . . . . . . . . . 13
60	58, 59	op1st 6409	. . . . . . . . . . . 12
61		inss1 3553	. . . . . . . . . . . 12
62	60, 61	eqsstri 3371	. . . . . . . . . . 11
63		vex 2972	. . . . . . . . . . . 12
64		opex 4470	. . . . . . . . . . . 12
65	2, 3, 63, 64	filnetlem1 26674	. . . . . . . . . . 11
66	62, 65	mpbiran2 887	. . . . . . . . . 10
67	48, 56, 66	sylanbrc 647	. . . . . . . . 9
68	40	adantr 453	. . . . . . . . . 10
69		inss2 3554	. . . . . . . . . . . 12
70	60, 69	eqsstri 3371	. . . . . . . . . . 11
71		vex 2972	. . . . . . . . . . . 12
72	2, 3, 71, 64	filnetlem1 26674	. . . . . . . . . . 11
73	70, 72	mpbiran2 887	. . . . . . . . . 10
74	68, 56, 73	sylanbrc 647	. . . . . . . . 9
75		breq2 4251	. . . . . . . . . . 11
76		breq2 4251	. . . . . . . . . . 11
77	75, 76	anbi12d 693	. . . . . . . . . 10
78	64, 77	spcev 3056	. . . . . . . . 9
79	67, 74, 78	syl2anc 644	. . . . . . . 8
80	47, 79	exlimddv 1650	. . . . . . 7
81	80	ralrimivva 2809	. . . . . 6
82		codir 5302	. . . . . 6
83	81, 82	sylibr 205	. . . . 5
84		vex 2972	. . . . . . . . . . . . 13
85	2, 3, 63, 84	filnetlem1 26674	. . . . . . . . . . . 12
86	85	simplbi 448	. . . . . . . . . . 11
87	86	simpld 447	. . . . . . . . . 10
88	2, 3, 84, 71	filnetlem1 26674	. . . . . . . . . . . 12
89	88	simplbi 448	. . . . . . . . . . 11
90	89	simprd 451	. . . . . . . . . 10
91	87, 90	anim12i 551	. . . . . . . . 9
92	88	simprbi 452	. . . . . . . . . 10
93	85	simprbi 452	. . . . . . . . . 10
94	92, 93	sylan9ssr 3355	. . . . . . . . 9
95	2, 3, 63, 71	filnetlem1 26674	. . . . . . . . 9
96	91, 94, 95	sylanbrc 647	. . . . . . . 8
97	96	ax-gen 1556	. . . . . . 7
98	97	gen2 1557	. . . . . 6
99		cotr 5294	. . . . . 6
100	98, 99	mpbir 202	. . . . 5
101	83, 100	jctil 525	. . . 4
102		filtop 17923	. . . . . . . . 9
103		xpexg 5035	. . . . . . . . 9
104	102, 103	mpdan 651	. . . . . . . 8
105	104, 30	ssexd 4393	. . . . . . 7
106		xpexg 5035	. . . . . . 7
107	105, 105, 106	syl2anc 644	. . . . . 6
108		ssexg 4392	. . . . . 6
109	13, 107, 108	sylancr 646	. . . . 5
110	21	isdir 14713	. . . . 5
111	109, 110	syl 16	. . . 4
112	33, 101, 111	mpbir2and 890	. . 3
113	30, 112	jca 520	. 2
114	21, 113	pm3.2i 443	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  A.wal 1550  E.wex 1551  =wceq 1654  e.wcel 1728  =/=wne 2610  A.wral 2716  cvv 2969  u.cun 3311  i^icin 3312  C_wss 3313  c0 3620  {csn 3845  <.cop 3848  U.cuni 4047  U_ciun 4126   class class class wbr 4247  {copab 4304  cid 4538  X.cxp 4921  `'ccnv 4922  domcdm 4923  rancrn 4924  |`cres 4925  o.ccom 4927  Relwrel 4928  `cfv 5505  c1st 6401  cdir 14709  cfil 17913

This theorem is referenced by:  filnetlem4  26677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1955  ax-ext 2428  ax-sep 4368  ax-nul 4376  ax-pow 4420  ax-pr 4446  ax-un 4746

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2296  df-mo 2297  df-clab 2434  df-cleq 2440  df-clel 2443  df-nfc 2572  df-ne 2612  df-nel 2613  df-ral 2721  df-rex 2722  df-reu 2723  df-rab 2725  df-v 2971  df-sbc 3175  df-csb 3275  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3621  df-if 3770  df-pw 3832  df-sn 3851  df-pr 3852  df-op 3854  df-uni 4048  df-iun 4128  df-br 4248  df-opab 4306  df-mpt 4307  df-id 4543  df-xp 4929  df-rel 4930  df-cnv 4931  df-co 4932  df-dm 4933  df-rn 4934  df-res 4935  df-ima 4936  df-iota 5468  df-fun 5507  df-fn 5508  df-f 5509  df-f1 5510  df-fo 5511  df-f1o 5512  df-fv 5513  df-1st 6403  df-dir 14711  df-fbas 16735  df-fil 17914