Theorem filnetlem3 28272

Description: Lemma for filnet 28274. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
filnet.h
filnet.d

Assertion

Ref	Expression
filnetlem3

Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,

Proof of Theorem filnetlem3

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmresi 5133	. . . . . 6
2		filnet.h	. . . . . . . . 9
3		filnet.d	. . . . . . . . 9
4	2, 3	filnetlem2 28271	. . . . . . . 8
5	4	simpli 448	. . . . . . 7
6		dmss 5010	. . . . . . 7
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6
8	1, 7	eqsstr3i 3364	. . . . 5
9		ssun1 3496	. . . . 5
10	8, 9	sstri 3342	. . . 4
11		dmrnssfld 5069	. . . 4
12	10, 11	sstri 3342	. . 3
13	4	simpri 452	. . . . 5
14		uniss 4087	. . . . 5
15		uniss 4087	. . . . 5
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . 4
17		unixpss 4926	. . . . 5
18		unidm 3476	. . . . 5
19	17, 18	sseqtri 3365	. . . 4
20	16, 19	sstri 3342	. . 3
21	12, 20	eqssi 3349	. 2
22		filelss 19129	. . . . . . . 8
23		xpss2 4920	. . . . . . . 8
24	22, 23	syl 16	. . . . . . 7
25	24	ralrimiva 2778	. . . . . 6
26		ss2iun 4161	. . . . . 6
27	25, 26	syl 16	. . . . 5
28		iunxpconst 4866	. . . . 5
29	27, 28	syl6sseq 3379	. . . 4
30	2, 29	syl5eqss 3377	. . 3
31	5	a1i 11	. . . . 5
32	3	relopabi 4936	. . . . 5
33	31, 32	jctil 527	. . . 4
34		simpl 447	. . . . . . . . . 10
35	30	adantr 455	. . . . . . . . . . . 12
36		simprl 740	. . . . . . . . . . . 12
37	35, 36	sseldd 3334	. . . . . . . . . . 11
38		xp1st 6575	. . . . . . . . . . 11
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . . 10
40		simprr 741	. . . . . . . . . . . 12
41	35, 40	sseldd 3334	. . . . . . . . . . 11
42		xp1st 6575	. . . . . . . . . . 11
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . . . 10
44		filinn0 19137	. . . . . . . . . 10
45	34, 39, 43, 44	syl3anc 1203	. . . . . . . . 9
46		n0 3623	. . . . . . . . 9
47	45, 46	sylib 190	. . . . . . . 8
48	36	adantr 455	. . . . . . . . . 10
49		filin 19131	. . . . . . . . . . . . . 14
50	34, 39, 43, 49	syl3anc 1203	. . . . . . . . . . . . 13
51	50	adantr 455	. . . . . . . . . . . 12
52		simpr 451	. . . . . . . . . . . 12
53		id 21	. . . . . . . . . . . . 13
54	53	opeliunxp2 4949	. . . . . . . . . . . 12
55	51, 52, 54	sylanbrc 649	. . . . . . . . . . 11
56	55, 2	syl6eleqr 2513	. . . . . . . . . 10
57		fvex 5671	. . . . . . . . . . . . . 14
58	57	inex1 4408	. . . . . . . . . . . . 13
59		vex 2954	. . . . . . . . . . . . 13
60	58, 59	op1st 6554	. . . . . . . . . . . 12
61		inss1 3547	. . . . . . . . . . . 12
62	60, 61	eqsstri 3363	. . . . . . . . . . 11
63		vex 2954	. . . . . . . . . . . 12
64		opex 4528	. . . . . . . . . . . 12
65	2, 3, 63, 64	filnetlem1 28270	. . . . . . . . . . 11
66	62, 65	mpbiran2 895	. . . . . . . . . 10
67	48, 56, 66	sylanbrc 649	. . . . . . . . 9
68	40	adantr 455	. . . . . . . . . 10
69		inss2 3548	. . . . . . . . . . . 12
70	60, 69	eqsstri 3363	. . . . . . . . . . 11
71		vex 2954	. . . . . . . . . . . 12
72	2, 3, 71, 64	filnetlem1 28270	. . . . . . . . . . 11
73	70, 72	mpbiran2 895	. . . . . . . . . 10
74	68, 56, 73	sylanbrc 649	. . . . . . . . 9
75		breq2 4271	. . . . . . . . . . 11
76		breq2 4271	. . . . . . . . . . 11
77	75, 76	anbi12d 695	. . . . . . . . . 10
78	64, 77	spcev 3042	. . . . . . . . 9
79	67, 74, 78	syl2anc 646	. . . . . . . 8
80	47, 79	exlimddv 1683	. . . . . . 7
81	80	ralrimivva 2787	. . . . . 6
82		codir 5190	. . . . . 6
83	81, 82	sylibr 206	. . . . 5
84		vex 2954	. . . . . . . . . . . . 13
85	2, 3, 63, 84	filnetlem1 28270	. . . . . . . . . . . 12
86	85	simplbi 450	. . . . . . . . . . 11
87	86	simpld 449	. . . . . . . . . 10
88	2, 3, 84, 71	filnetlem1 28270	. . . . . . . . . . . 12
89	88	simplbi 450	. . . . . . . . . . 11
90	89	simprd 453	. . . . . . . . . 10
91	87, 90	anim12i 553	. . . . . . . . 9
92	88	simprbi 454	. . . . . . . . . 10
93	85	simprbi 454	. . . . . . . . . 10
94	92, 93	sylan9ssr 3347	. . . . . . . . 9
95	2, 3, 63, 71	filnetlem1 28270	. . . . . . . . 9
96	91, 94, 95	sylanbrc 649	. . . . . . . 8
97	96	ax-gen 1586	. . . . . . 7
98	97	gen2 1587	. . . . . 6
99		cotr 5182	. . . . . 6
100	98, 99	mpbir 203	. . . . 5
101	83, 100	jctil 527	. . . 4
102		filtop 19132	. . . . . . . . 9
103		xpexg 6477	. . . . . . . . 9
104	102, 103	mpdan 653	. . . . . . . 8
105	104, 30	ssexd 4414	. . . . . . 7
106		xpexg 6477	. . . . . . 7
107	105, 105, 106	syl2anc 646	. . . . . 6
108		ssexg 4413	. . . . . 6
109	13, 107, 108	sylancr 648	. . . . 5
110	21	isdir 15342	. . . . 5
111	109, 110	syl 16	. . . 4
112	33, 101, 111	mpbir2and 898	. . 3
113	30, 112	jca 522	. 2
114	21, 113	pm3.2i 445	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  A.wal 1580  E.wex 1581  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585  A.wral 2694  cvv 2951  u.cun 3303  i^icin 3304  C_wss 3305  c0 3614  {csn 3853  <.cop 3856  U.cuni 4066  U_ciun 4146   class class class wbr 4267  {copab 4324  cid 4602  X.cxp 4809  `'ccnv 4810  domcdm 4811  rancrn 4812  |`cres 4813  o.ccom 4815  Relwrel 4816  `cfv 5390  c1st 6544  cdir 15338  cfil 19122

This theorem is referenced by:  filnetlem4  28273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-id 4607  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-1st 6546  df-dir 15340  df-fbas 17524  df-fil 19123