Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  filnetlem3 Unicode version

Theorem filnetlem3 28272
Description: Lemma for filnet 28274. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
filnet.h
filnet.d
Assertion
Ref Expression
filnetlem3
Distinct variable groups:   , , ,   , ,   ,

Proof of Theorem filnetlem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmresi 5133 . . . . . 6
2 filnet.h . . . . . . . . 9
3 filnet.d . . . . . . . . 9
42, 3filnetlem2 28271 . . . . . . . 8
54simpli 448 . . . . . . 7
6 dmss 5010 . . . . . . 7
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6
81, 7eqsstr3i 3364 . . . . 5
9 ssun1 3496 . . . . 5
108, 9sstri 3342 . . . 4
11 dmrnssfld 5069 . . . 4
1210, 11sstri 3342 . . 3
134simpri 452 . . . . 5
14 uniss 4087 . . . . 5
15 uniss 4087 . . . . 5
1613, 14, 15mp2b 10 . . . 4
17 unixpss 4926 . . . . 5
18 unidm 3476 . . . . 5
1917, 18sseqtri 3365 . . . 4
2016, 19sstri 3342 . . 3
2112, 20eqssi 3349 . 2
22 filelss 19129 . . . . . . . 8
23 xpss2 4920 . . . . . . . 8
2422, 23syl 16 . . . . . . 7
2524ralrimiva 2778 . . . . . 6
26 ss2iun 4161 . . . . . 6
2725, 26syl 16 . . . . 5
28 iunxpconst 4866 . . . . 5
2927, 28syl6sseq 3379 . . . 4
302, 29syl5eqss 3377 . . 3
315a1i 11 . . . . 5
323relopabi 4936 . . . . 5
3331, 32jctil 527 . . . 4
34 simpl 447 . . . . . . . . . 10
3530adantr 455 . . . . . . . . . . . 12
36 simprl 740 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36sseldd 3334 . . . . . . . . . . 11
38 xp1st 6575 . . . . . . . . . . 11
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . 10
40 simprr 741 . . . . . . . . . . . 12
4135, 40sseldd 3334 . . . . . . . . . . 11
42 xp1st 6575 . . . . . . . . . . 11
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . 10
44 filinn0 19137 . . . . . . . . . 10
4534, 39, 43, 44syl3anc 1203 . . . . . . . . 9
46 n0 3623 . . . . . . . . 9
4745, 46sylib 190 . . . . . . . 8
4836adantr 455 . . . . . . . . . 10
49 filin 19131 . . . . . . . . . . . . . 14
5034, 39, 43, 49syl3anc 1203 . . . . . . . . . . . . 13
5150adantr 455 . . . . . . . . . . . 12
52 simpr 451 . . . . . . . . . . . 12
53 id 21 . . . . . . . . . . . . 13
5453opeliunxp2 4949 . . . . . . . . . . . 12
5551, 52, 54sylanbrc 649 . . . . . . . . . . 11
5655, 2syl6eleqr 2513 . . . . . . . . . 10
57 fvex 5671 . . . . . . . . . . . . . 14
5857inex1 4408 . . . . . . . . . . . . 13
59 vex 2954 . . . . . . . . . . . . 13
6058, 59op1st 6554 . . . . . . . . . . . 12
61 inss1 3547 . . . . . . . . . . . 12
6260, 61eqsstri 3363 . . . . . . . . . . 11
63 vex 2954 . . . . . . . . . . . 12
64 opex 4528 . . . . . . . . . . . 12
652, 3, 63, 64filnetlem1 28270 . . . . . . . . . . 11
6662, 65mpbiran2 895 . . . . . . . . . 10
6748, 56, 66sylanbrc 649 . . . . . . . . 9
6840adantr 455 . . . . . . . . . 10
69 inss2 3548 . . . . . . . . . . . 12
7060, 69eqsstri 3363 . . . . . . . . . . 11
71 vex 2954 . . . . . . . . . . . 12
722, 3, 71, 64filnetlem1 28270 . . . . . . . . . . 11
7370, 72mpbiran2 895 . . . . . . . . . 10
7468, 56, 73sylanbrc 649 . . . . . . . . 9
75 breq2 4271 . . . . . . . . . . 11
76 breq2 4271 . . . . . . . . . . 11
7775, 76anbi12d 695 . . . . . . . . . 10
7864, 77spcev 3042 . . . . . . . . 9
7967, 74, 78syl2anc 646 . . . . . . . 8
8047, 79exlimddv 1683 . . . . . . 7
8180ralrimivva 2787 . . . . . 6
82 codir 5190 . . . . . 6
8381, 82sylibr 206 . . . . 5
84 vex 2954 . . . . . . . . . . . . 13
852, 3, 63, 84filnetlem1 28270 . . . . . . . . . . . 12
8685simplbi 450 . . . . . . . . . . 11
8786simpld 449 . . . . . . . . . 10
882, 3, 84, 71filnetlem1 28270 . . . . . . . . . . . 12
8988simplbi 450 . . . . . . . . . . 11
9089simprd 453 . . . . . . . . . 10
9187, 90anim12i 553 . . . . . . . . 9
9288simprbi 454 . . . . . . . . . 10
9385simprbi 454 . . . . . . . . . 10
9492, 93sylan9ssr 3347 . . . . . . . . 9
952, 3, 63, 71filnetlem1 28270 . . . . . . . . 9
9691, 94, 95sylanbrc 649 . . . . . . . 8
9796ax-gen 1586 . . . . . . 7
9897gen2 1587 . . . . . 6
99 cotr 5182 . . . . . 6
10098, 99mpbir 203 . . . . 5
10183, 100jctil 527 . . . 4
102 filtop 19132 . . . . . . . . 9
103 xpexg 6477 . . . . . . . . 9
104102, 103mpdan 653 . . . . . . . 8
105104, 30ssexd 4414 . . . . . . 7
106 xpexg 6477 . . . . . . 7
107105, 105, 106syl2anc 646 . . . . . 6
108 ssexg 4413 . . . . . 6
10913, 107, 108sylancr 648 . . . . 5
11021isdir 15342 . . . . 5
111109, 110syl 16 . . . 4
11233, 101, 111mpbir2and 898 . . 3
11330, 112jca 522 . 2
11421, 113pm3.2i 445 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  A.wal 1580  E.wex 1581  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585  A.wral 2694   cvv 2951  u.cun 3303  i^icin 3304  C_wss 3305   c0 3614  {csn 3853  <.cop 3856  U.cuni 4066  U_ciun 4146   class class class wbr 4267  {copab 4324   cid 4602  X.cxp 4809  `'ccnv 4810  domcdm 4811  rancrn 4812  |`cres 4813  o.ccom 4815  Relwrel 4816  `cfv 5390   c1st 6544   cdir 15338   cfil 19122
This theorem is referenced by:  filnetlem4  28273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-id 4607  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-1st 6546  df-dir 15340  df-fbas 17524  df-fil 19123
  Copyright terms: Public domain W3C validator