Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  filnetlem3 Unicode version

Theorem filnetlem3 26676
Description: Lemma for filnet 26678. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
filnet.h
filnet.d
Assertion
Ref Expression
filnetlem3
Distinct variable groups:   , , ,   , ,   ,
Allowed substitution hints:   ( , , )   ( )   ( , )

Proof of Theorem filnetlem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmresi 5244 . . . . . 6
2 filnet.h . . . . . . . . 9
3 filnet.d . . . . . . . . 9
42, 3filnetlem2 26675 . . . . . . . 8
54simpli 446 . . . . . . 7
6 dmss 5117 . . . . . . 7
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6
81, 7eqsstr3i 3372 . . . . 5
9 ssun1 3503 . . . . 5
108, 9sstri 3350 . . . 4
11 dmrnssfld 5176 . . . 4
1210, 11sstri 3350 . . 3
134simpri 450 . . . . 5
14 uniss 4067 . . . . 5
15 uniss 4067 . . . . 5
1613, 14, 15mp2b 10 . . . 4
17 unixpss 5034 . . . . 5
18 unidm 3483 . . . . 5
1917, 18sseqtri 3373 . . . 4
2016, 19sstri 3350 . . 3
2112, 20eqssi 3357 . 2
22 filelss 17920 . . . . . . . 8
23 xpss2 5031 . . . . . . . 8
2422, 23syl 16 . . . . . . 7
2524ralrimiva 2800 . . . . . 6
26 ss2iun 4141 . . . . . 6
2725, 26syl 16 . . . . 5
28 iunxpconst 4978 . . . . 5
2927, 28syl6sseq 3387 . . . 4
302, 29syl5eqss 3385 . . 3
315a1i 11 . . . . 5
323relopabi 5046 . . . . 5
3331, 32jctil 525 . . . 4
34 simpl 445 . . . . . . . . . 10
3530adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
36 simprl 734 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36sseldd 3342 . . . . . . . . . . 11
38 xp1st 6430 . . . . . . . . . . 11
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . 10
40 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12
4135, 40sseldd 3342 . . . . . . . . . . 11
42 xp1st 6430 . . . . . . . . . . 11
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . 10
44 filinn0 17928 . . . . . . . . . 10
4534, 39, 43, 44syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
46 n0 3629 . . . . . . . . 9
4745, 46sylib 190 . . . . . . . 8
4836adantr 453 . . . . . . . . . 10
49 filin 17922 . . . . . . . . . . . . . 14
5034, 39, 43, 49syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13
5150adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
52 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12
53 id 21 . . . . . . . . . . . . 13
5453opeliunxp2 5059 . . . . . . . . . . . 12
5551, 52, 54sylanbrc 647 . . . . . . . . . . 11
5655, 2syl6eleqr 2538 . . . . . . . . . 10
57 fvex 5789 . . . . . . . . . . . . . 14
5857inex1 4387 . . . . . . . . . . . . 13
59 vex 2972 . . . . . . . . . . . . 13
6058, 59op1st 6409 . . . . . . . . . . . 12
61 inss1 3553 . . . . . . . . . . . 12
6260, 61eqsstri 3371 . . . . . . . . . . 11
63 vex 2972 . . . . . . . . . . . 12
64 opex 4470 . . . . . . . . . . . 12
652, 3, 63, 64filnetlem1 26674 . . . . . . . . . . 11
6662, 65mpbiran2 887 . . . . . . . . . 10
6748, 56, 66sylanbrc 647 . . . . . . . . 9
6840adantr 453 . . . . . . . . . 10
69 inss2 3554 . . . . . . . . . . . 12
7060, 69eqsstri 3371 . . . . . . . . . . 11
71 vex 2972 . . . . . . . . . . . 12
722, 3, 71, 64filnetlem1 26674 . . . . . . . . . . 11
7370, 72mpbiran2 887 . . . . . . . . . 10
7468, 56, 73sylanbrc 647 . . . . . . . . 9
75 breq2 4251 . . . . . . . . . . 11
76 breq2 4251 . . . . . . . . . . 11
7775, 76anbi12d 693 . . . . . . . . . 10
7864, 77spcev 3056 . . . . . . . . 9
7967, 74, 78syl2anc 644 . . . . . . . 8
8047, 79exlimddv 1650 . . . . . . 7
8180ralrimivva 2809 . . . . . 6
82 codir 5302 . . . . . 6
8381, 82sylibr 205 . . . . 5
84 vex 2972 . . . . . . . . . . . . 13
852, 3, 63, 84filnetlem1 26674 . . . . . . . . . . . 12
8685simplbi 448 . . . . . . . . . . 11
8786simpld 447 . . . . . . . . . 10
882, 3, 84, 71filnetlem1 26674 . . . . . . . . . . . 12
8988simplbi 448 . . . . . . . . . . 11
9089simprd 451 . . . . . . . . . 10
9187, 90anim12i 551 . . . . . . . . 9
9288simprbi 452 . . . . . . . . . 10
9385simprbi 452 . . . . . . . . . 10
9492, 93sylan9ssr 3355 . . . . . . . . 9
952, 3, 63, 71filnetlem1 26674 . . . . . . . . 9
9691, 94, 95sylanbrc 647 . . . . . . . 8
9796ax-gen 1556 . . . . . . 7
9897gen2 1557 . . . . . 6
99 cotr 5294 . . . . . 6
10098, 99mpbir 202 . . . . 5
10183, 100jctil 525 . . . 4
102 filtop 17923 . . . . . . . . 9
103 xpexg 5035 . . . . . . . . 9
104102, 103mpdan 651 . . . . . . . 8
105104, 30ssexd 4393 . . . . . . 7
106 xpexg 5035 . . . . . . 7
107105, 105, 106syl2anc 644 . . . . . 6
108 ssexg 4392 . . . . . 6
10913, 107, 108sylancr 646 . . . . 5
11021isdir 14713 . . . . 5
111109, 110syl 16 . . . 4
11233, 101, 111mpbir2and 890 . . 3
11330, 112jca 520 . 2
11421, 113pm3.2i 443 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  A.wal 1550  E.wex 1551  =wceq 1654  e.wcel 1728  =/=wne 2610  A.wral 2716   cvv 2969  u.cun 3311  i^icin 3312  C_wss 3313   c0 3620  {csn 3845  <.cop 3848  U.cuni 4047  U_ciun 4126   class class class wbr 4247  {copab 4304   cid 4538  X.cxp 4921  `'ccnv 4922  domcdm 4923  rancrn 4924  |`cres 4925  o.ccom 4927  Relwrel 4928  `cfv 5505   c1st 6401   cdir 14709   cfil 17913
This theorem is referenced by:  filnetlem4  26677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1955  ax-ext 2428  ax-sep 4368  ax-nul 4376  ax-pow 4420  ax-pr 4446  ax-un 4746
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2296  df-mo 2297  df-clab 2434  df-cleq 2440  df-clel 2443  df-nfc 2572  df-ne 2612  df-nel 2613  df-ral 2721  df-rex 2722  df-reu 2723  df-rab 2725  df-v 2971  df-sbc 3175  df-csb 3275  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3621  df-if 3770  df-pw 3832  df-sn 3851  df-pr 3852  df-op 3854  df-uni 4048  df-iun 4128  df-br 4248  df-opab 4306  df-mpt 4307  df-id 4543  df-xp 4929  df-rel 4930  df-cnv 4931  df-co 4932  df-dm 4933  df-rn 4934  df-res 4935  df-ima 4936  df-iota 5468  df-fun 5507  df-fn 5508  df-f 5509  df-f1 5510  df-fo 5511  df-f1o 5512  df-fv 5513  df-1st 6403  df-dir 14711  df-fbas 16735  df-fil 17914
  Copyright terms: Public domain W3C validator