Theorem filnetlem3 27781

Description: Lemma for filnet 27783. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
filnet.h
filnet.d

Assertion

Ref	Expression
filnetlem3

Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,

Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,)

Proof of Theorem filnetlem3

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmresi 5184	. . . . . 6
2		filnet.h	. . . . . . . . 9
3		filnet.d	. . . . . . . . 9
4	2, 3	filnetlem2 27780	. . . . . . . 8
5	4	simpli 446	. . . . . . 7
6		dmss 5061	. . . . . . 7
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6
8	1, 7	eqsstr3i 3424	. . . . 5
9		ssun1 3556	. . . . 5
10	8, 9	sstri 3402	. . . 4
11		dmrnssfld 5120	. . . 4
12	10, 11	sstri 3402	. . 3
13	4	simpri 450	. . . . 5
14		uniss 4138	. . . . 5
15		uniss 4138	. . . . 5
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . 4
17		unixpss 4977	. . . . 5
18		unidm 3536	. . . . 5
19	17, 18	sseqtri 3425	. . . 4
20	16, 19	sstri 3402	. . 3
21	12, 20	eqssi 3409	. 2
22		filelss 18899	. . . . . . . 8
23		xpss2 4971	. . . . . . . 8
24	22, 23	syl 16	. . . . . . 7
25	24	ralrimiva 2843	. . . . . 6
26		ss2iun 4212	. . . . . 6
27	25, 26	syl 16	. . . . 5
28		iunxpconst 4917	. . . . 5
29	27, 28	syl6sseq 3439	. . . 4
30	2, 29	syl5eqss 3437	. . 3
31	5	a1i 11	. . . . 5
32	3	relopabi 4987	. . . . 5
33	31, 32	jctil 525	. . . 4
34		simpl 445	. . . . . . . . . 10
35	30	adantr 453	. . . . . . . . . . . 12
36		simprl 734	. . . . . . . . . . . 12
37	35, 36	sseldd 3394	. . . . . . . . . . 11
38		xp1st 6612	. . . . . . . . . . 11
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . . 10
40		simprr 735	. . . . . . . . . . . 12
41	35, 40	sseldd 3394	. . . . . . . . . . 11
42		xp1st 6612	. . . . . . . . . . 11
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . . . 10
44		filinn0 18907	. . . . . . . . . 10
45	34, 39, 43, 44	syl3anc 1192	. . . . . . . . 9
46		n0 3682	. . . . . . . . 9
47	45, 46	sylib 190	. . . . . . . 8
48	36	adantr 453	. . . . . . . . . 10
49		filin 18901	. . . . . . . . . . . . . 14
50	34, 39, 43, 49	syl3anc 1192	. . . . . . . . . . . . 13
51	50	adantr 453	. . . . . . . . . . . 12
52		simpr 449	. . . . . . . . . . . 12
53		id 21	. . . . . . . . . . . . 13
54	53	opeliunxp2 5000	. . . . . . . . . . . 12
55	51, 52, 54	sylanbrc 647	. . . . . . . . . . 11
56	55, 2	syl6eleqr 2580	. . . . . . . . . 10
57		fvex 5718	. . . . . . . . . . . . . 14
58	57	inex1 4459	. . . . . . . . . . . . 13
59		vex 3018	. . . . . . . . . . . . 13
60	58, 59	op1st 6591	. . . . . . . . . . . 12
61		inss1 3606	. . . . . . . . . . . 12
62	60, 61	eqsstri 3423	. . . . . . . . . . 11
63		vex 3018	. . . . . . . . . . . 12
64		opex 4579	. . . . . . . . . . . 12
65	2, 3, 63, 64	filnetlem1 27779	. . . . . . . . . . 11
66	62, 65	mpbiran2 887	. . . . . . . . . 10
67	48, 56, 66	sylanbrc 647	. . . . . . . . 9
68	40	adantr 453	. . . . . . . . . 10
69		inss2 3607	. . . . . . . . . . . 12
70	60, 69	eqsstri 3423	. . . . . . . . . . 11
71		vex 3018	. . . . . . . . . . . 12
72	2, 3, 71, 64	filnetlem1 27779	. . . . . . . . . . 11
73	70, 72	mpbiran2 887	. . . . . . . . . 10
74	68, 56, 73	sylanbrc 647	. . . . . . . . 9
75		breq2 4322	. . . . . . . . . . 11
76		breq2 4322	. . . . . . . . . . 11
77	75, 76	anbi12d 693	. . . . . . . . . 10
78	64, 77	spcev 3104	. . . . . . . . 9
79	67, 74, 78	syl2anc 644	. . . . . . . 8
80	47, 79	exlimddv 1666	. . . . . . 7
81	80	ralrimivva 2852	. . . . . 6
82		codir 5241	. . . . . 6
83	81, 82	sylibr 205	. . . . 5
84		vex 3018	. . . . . . . . . . . . 13
85	2, 3, 63, 84	filnetlem1 27779	. . . . . . . . . . . 12
86	85	simplbi 448	. . . . . . . . . . 11
87	86	simpld 447	. . . . . . . . . 10
88	2, 3, 84, 71	filnetlem1 27779	. . . . . . . . . . . 12
89	88	simplbi 448	. . . . . . . . . . 11
90	89	simprd 451	. . . . . . . . . 10
91	87, 90	anim12i 551	. . . . . . . . 9
92	88	simprbi 452	. . . . . . . . . 10
93	85	simprbi 452	. . . . . . . . . 10
94	92, 93	sylan9ssr 3407	. . . . . . . . 9
95	2, 3, 63, 71	filnetlem1 27779	. . . . . . . . 9
96	91, 94, 95	sylanbrc 647	. . . . . . . 8
97	96	ax-gen 1570	. . . . . . 7
98	97	gen2 1571	. . . . . 6
99		cotr 5233	. . . . . 6
100	98, 99	mpbir 202	. . . . 5
101	83, 100	jctil 525	. . . 4
102		filtop 18902	. . . . . . . . 9
103		xpexg 6517	. . . . . . . . 9
104	102, 103	mpdan 651	. . . . . . . 8
105	104, 30	ssexd 4465	. . . . . . 7
106		xpexg 6517	. . . . . . 7
107	105, 105, 106	syl2anc 644	. . . . . 6
108		ssexg 4464	. . . . . 6
109	13, 107, 108	sylancr 646	. . . . 5
110	21	isdir 15243	. . . . 5
111	109, 110	syl 16	. . . 4
112	33, 101, 111	mpbir2and 890	. . 3
113	30, 112	jca 520	. 2
114	21, 113	pm3.2i 443	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  A.wal 1564  E.wex 1565  =wceq 1670  e.wcel 1732  =/=wne 2652  A.wral 2759  cvv 3015  u.cun 3363  i^icin 3364  C_wss 3365  c0 3673  {csn 3909  <.cop 3912  U.cuni 4117  U_ciun 4197   class class class wbr 4318  {copab 4375  cid 4652  X.cxp 4860  `'ccnv 4861  domcdm 4862  rancrn 4863  |`cres 4864  o.ccom 4866  Relwrel 4867  `cfv 5438  c1st 6581  cdir 15239  cfil 18892

This theorem is referenced by:  filnetlem4  27782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1570  ax-4 1581  ax-5 1644  ax-6 1685  ax-7 1705  ax-8 1734  ax-9 1736  ax-10 1751  ax-11 1756  ax-12 1768  ax-13 1955  ax-ext 2470  ax-sep 4439  ax-nul 4447  ax-pow 4493  ax-pr 4554  ax-un 6382

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1338  df-ex 1566  df-nf 1569  df-sb 1677  df-eu 2317  df-mo 2318  df-clab 2476  df-cleq 2482  df-clel 2485  df-nfc 2614  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2764  df-rex 2765  df-reu 2766  df-rab 2768  df-v 3017  df-sbc 3225  df-csb 3326  df-dif 3368  df-un 3370  df-in 3372  df-ss 3379  df-nul 3674  df-if 3826  df-pw 3895  df-sn 3915  df-pr 3916  df-op 3918  df-uni 4118  df-iun 4199  df-br 4319  df-opab 4377  df-mpt 4378  df-id 4657  df-xp 4868  df-rel 4869  df-cnv 4870  df-co 4871  df-dm 4872  df-rn 4873  df-res 4874  df-ima 4875  df-iota 5401  df-fun 5440  df-fn 5441  df-f 5442  df-f1 5443  df-fo 5444  df-f1o 5445  df-fv 5446  df-1st 6583  df-dir 15241  df-fbas 17324  df-fil 18893