Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  filnetlem3 Unicode version

Theorem filnetlem3 27272
Description: Lemma for filnet 27274. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
filnet.h
filnet.d
Assertion
Ref Expression
filnetlem3
Distinct variable groups:   , , ,   , ,   ,
Allowed substitution hints:   ( , , )   ( )   ( , )

Proof of Theorem filnetlem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmresi 5164 . . . . . 6
2 filnet.h . . . . . . . . 9
3 filnet.d . . . . . . . . 9
42, 3filnetlem2 27271 . . . . . . . 8
54simpli 446 . . . . . . 7
6 dmss 5043 . . . . . . 7
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6
81, 7eqsstr3i 3412 . . . . 5
9 ssun1 3543 . . . . 5
108, 9sstri 3390 . . . 4
11 dmrnssfld 5102 . . . 4
1210, 11sstri 3390 . . 3
134simpri 450 . . . . 5
14 uniss 4122 . . . . 5
15 uniss 4122 . . . . 5
1613, 14, 15mp2b 10 . . . 4
17 unixpss 4959 . . . . 5
18 unidm 3523 . . . . 5
1917, 18sseqtri 3413 . . . 4
2016, 19sstri 3390 . . 3
2112, 20eqssi 3397 . 2
22 filelss 18388 . . . . . . . 8
23 xpss2 4953 . . . . . . . 8
2422, 23syl 16 . . . . . . 7
2524ralrimiva 2835 . . . . . 6
26 ss2iun 4196 . . . . . 6
2725, 26syl 16 . . . . 5
28 iunxpconst 4899 . . . . 5
2927, 28syl6sseq 3427 . . . 4
302, 29syl5eqss 3425 . . 3
315a1i 11 . . . . 5
323relopabi 4969 . . . . 5
3331, 32jctil 525 . . . 4
34 simpl 445 . . . . . . . . . 10
3530adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
36 simprl 734 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36sseldd 3382 . . . . . . . . . . 11
38 xp1st 6567 . . . . . . . . . . 11
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . 10
40 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12
4135, 40sseldd 3382 . . . . . . . . . . 11
42 xp1st 6567 . . . . . . . . . . 11
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . 10
44 filinn0 18396 . . . . . . . . . 10
4534, 39, 43, 44syl3anc 1192 . . . . . . . . 9
46 n0 3669 . . . . . . . . 9
4745, 46sylib 190 . . . . . . . 8
4836adantr 453 . . . . . . . . . 10
49 filin 18390 . . . . . . . . . . . . . 14
5034, 39, 43, 49syl3anc 1192 . . . . . . . . . . . . 13
5150adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
52 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12
53 id 21 . . . . . . . . . . . . 13
5453opeliunxp2 4982 . . . . . . . . . . . 12
5551, 52, 54sylanbrc 647 . . . . . . . . . . 11
5655, 2syl6eleqr 2572 . . . . . . . . . 10
57 fvex 5695 . . . . . . . . . . . . . 14
5857inex1 4443 . . . . . . . . . . . . 13
59 vex 3009 . . . . . . . . . . . . 13
6058, 59op1st 6546 . . . . . . . . . . . 12
61 inss1 3593 . . . . . . . . . . . 12
6260, 61eqsstri 3411 . . . . . . . . . . 11
63 vex 3009 . . . . . . . . . . . 12
64 opex 4563 . . . . . . . . . . . 12
652, 3, 63, 64filnetlem1 27270 . . . . . . . . . . 11
6662, 65mpbiran2 887 . . . . . . . . . 10
6748, 56, 66sylanbrc 647 . . . . . . . . 9
6840adantr 453 . . . . . . . . . 10
69 inss2 3594 . . . . . . . . . . . 12
7060, 69eqsstri 3411 . . . . . . . . . . 11
71 vex 3009 . . . . . . . . . . . 12
722, 3, 71, 64filnetlem1 27270 . . . . . . . . . . 11
7370, 72mpbiran2 887 . . . . . . . . . 10
7468, 56, 73sylanbrc 647 . . . . . . . . 9
75 breq2 4306 . . . . . . . . . . 11
76 breq2 4306 . . . . . . . . . . 11
7775, 76anbi12d 693 . . . . . . . . . 10
7864, 77spcev 3093 . . . . . . . . 9
7967, 74, 78syl2anc 644 . . . . . . . 8
8047, 79exlimddv 1658 . . . . . . 7
8180ralrimivva 2844 . . . . . 6
82 codir 5220 . . . . . 6
8381, 82sylibr 205 . . . . 5
84 vex 3009 . . . . . . . . . . . . 13
852, 3, 63, 84filnetlem1 27270 . . . . . . . . . . . 12
8685simplbi 448 . . . . . . . . . . 11
8786simpld 447 . . . . . . . . . 10
882, 3, 84, 71filnetlem1 27270 . . . . . . . . . . . 12
8988simplbi 448 . . . . . . . . . . 11
9089simprd 451 . . . . . . . . . 10
9187, 90anim12i 551 . . . . . . . . 9
9288simprbi 452 . . . . . . . . . 10
9385simprbi 452 . . . . . . . . . 10
9492, 93sylan9ssr 3395 . . . . . . . . 9
952, 3, 63, 71filnetlem1 27270 . . . . . . . . 9
9691, 94, 95sylanbrc 647 . . . . . . . 8
9796ax-gen 1562 . . . . . . 7
9897gen2 1563 . . . . . 6
99 cotr 5212 . . . . . 6
10098, 99mpbir 202 . . . . 5
10183, 100jctil 525 . . . 4
102 filtop 18391 . . . . . . . . 9
103 xpexg 6472 . . . . . . . . 9
104102, 103mpdan 651 . . . . . . . 8
105104, 30ssexd 4449 . . . . . . 7
106 xpexg 6472 . . . . . . 7
107105, 105, 106syl2anc 644 . . . . . 6
108 ssexg 4448 . . . . . 6
10913, 107, 108sylancr 646 . . . . 5
11021isdir 15180 . . . . 5
111109, 110syl 16 . . . 4
11233, 101, 111mpbir2and 890 . . 3
11330, 112jca 520 . 2
11421, 113pm3.2i 443 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  A.wal 1556  E.wex 1557  =wceq 1662  e.wcel 1724  =/=wne 2644  A.wral 2751   cvv 3006  u.cun 3351  i^icin 3352  C_wss 3353   c0 3660  {csn 3894  <.cop 3897  U.cuni 4101  U_ciun 4181   class class class wbr 4302  {copab 4359   cid 4634  X.cxp 4842  `'ccnv 4843  domcdm 4844  rancrn 4845  |`cres 4846  o.ccom 4848  Relwrel 4849  `cfv 5417   c1st 6536   cdir 15176   cfil 18381
This theorem is referenced by:  filnetlem4  27273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1562  ax-4 1573  ax-5 1636  ax-6 1677  ax-7 1697  ax-8 1726  ax-9 1728  ax-10 1743  ax-11 1748  ax-12 1760  ax-13 1947  ax-ext 2462  ax-sep 4423  ax-nul 4431  ax-pow 4477  ax-pr 4538  ax-un 6338
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1337  df-ex 1558  df-nf 1561  df-sb 1669  df-eu 2309  df-mo 2310  df-clab 2468  df-cleq 2474  df-clel 2477  df-nfc 2606  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3008  df-sbc 3213  df-csb 3314  df-dif 3356  df-un 3358  df-in 3360  df-ss 3367  df-nul 3661  df-if 3813  df-pw 3880  df-sn 3900  df-pr 3901  df-op 3903  df-uni 4102  df-iun 4183  df-br 4303  df-opab 4361  df-mpt 4362  df-id 4639  df-xp 4850  df-rel 4851  df-cnv 4852  df-co 4853  df-dm 4854  df-rn 4855  df-res 4856  df-ima 4857  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-1st 6538  df-dir 15178  df-fbas 17202  df-fil 18382
  Copyright terms: Public domain W3C validator