Theorem filnetlem3 27272

Description: Lemma for filnet 27274. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
filnet.h
filnet.d

Assertion

Ref	Expression
filnetlem3

Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,

Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,)

Proof of Theorem filnetlem3

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmresi 5164	. . . . . 6
2		filnet.h	. . . . . . . . 9
3		filnet.d	. . . . . . . . 9
4	2, 3	filnetlem2 27271	. . . . . . . 8
5	4	simpli 446	. . . . . . 7
6		dmss 5043	. . . . . . 7
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6
8	1, 7	eqsstr3i 3412	. . . . 5
9		ssun1 3543	. . . . 5
10	8, 9	sstri 3390	. . . 4
11		dmrnssfld 5102	. . . 4
12	10, 11	sstri 3390	. . 3
13	4	simpri 450	. . . . 5
14		uniss 4122	. . . . 5
15		uniss 4122	. . . . 5
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . 4
17		unixpss 4959	. . . . 5
18		unidm 3523	. . . . 5
19	17, 18	sseqtri 3413	. . . 4
20	16, 19	sstri 3390	. . 3
21	12, 20	eqssi 3397	. 2
22		filelss 18388	. . . . . . . 8
23		xpss2 4953	. . . . . . . 8
24	22, 23	syl 16	. . . . . . 7
25	24	ralrimiva 2835	. . . . . 6
26		ss2iun 4196	. . . . . 6
27	25, 26	syl 16	. . . . 5
28		iunxpconst 4899	. . . . 5
29	27, 28	syl6sseq 3427	. . . 4
30	2, 29	syl5eqss 3425	. . 3
31	5	a1i 11	. . . . 5
32	3	relopabi 4969	. . . . 5
33	31, 32	jctil 525	. . . 4
34		simpl 445	. . . . . . . . . 10
35	30	adantr 453	. . . . . . . . . . . 12
36		simprl 734	. . . . . . . . . . . 12
37	35, 36	sseldd 3382	. . . . . . . . . . 11
38		xp1st 6567	. . . . . . . . . . 11
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . . 10
40		simprr 735	. . . . . . . . . . . 12
41	35, 40	sseldd 3382	. . . . . . . . . . 11
42		xp1st 6567	. . . . . . . . . . 11
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . . . 10
44		filinn0 18396	. . . . . . . . . 10
45	34, 39, 43, 44	syl3anc 1192	. . . . . . . . 9
46		n0 3669	. . . . . . . . 9
47	45, 46	sylib 190	. . . . . . . 8
48	36	adantr 453	. . . . . . . . . 10
49		filin 18390	. . . . . . . . . . . . . 14
50	34, 39, 43, 49	syl3anc 1192	. . . . . . . . . . . . 13
51	50	adantr 453	. . . . . . . . . . . 12
52		simpr 449	. . . . . . . . . . . 12
53		id 21	. . . . . . . . . . . . 13
54	53	opeliunxp2 4982	. . . . . . . . . . . 12
55	51, 52, 54	sylanbrc 647	. . . . . . . . . . 11
56	55, 2	syl6eleqr 2572	. . . . . . . . . 10
57		fvex 5695	. . . . . . . . . . . . . 14
58	57	inex1 4443	. . . . . . . . . . . . 13
59		vex 3009	. . . . . . . . . . . . 13
60	58, 59	op1st 6546	. . . . . . . . . . . 12
61		inss1 3593	. . . . . . . . . . . 12
62	60, 61	eqsstri 3411	. . . . . . . . . . 11
63		vex 3009	. . . . . . . . . . . 12
64		opex 4563	. . . . . . . . . . . 12
65	2, 3, 63, 64	filnetlem1 27270	. . . . . . . . . . 11
66	62, 65	mpbiran2 887	. . . . . . . . . 10
67	48, 56, 66	sylanbrc 647	. . . . . . . . 9
68	40	adantr 453	. . . . . . . . . 10
69		inss2 3594	. . . . . . . . . . . 12
70	60, 69	eqsstri 3411	. . . . . . . . . . 11
71		vex 3009	. . . . . . . . . . . 12
72	2, 3, 71, 64	filnetlem1 27270	. . . . . . . . . . 11
73	70, 72	mpbiran2 887	. . . . . . . . . 10
74	68, 56, 73	sylanbrc 647	. . . . . . . . 9
75		breq2 4306	. . . . . . . . . . 11
76		breq2 4306	. . . . . . . . . . 11
77	75, 76	anbi12d 693	. . . . . . . . . 10
78	64, 77	spcev 3093	. . . . . . . . 9
79	67, 74, 78	syl2anc 644	. . . . . . . 8
80	47, 79	exlimddv 1658	. . . . . . 7
81	80	ralrimivva 2844	. . . . . 6
82		codir 5220	. . . . . 6
83	81, 82	sylibr 205	. . . . 5
84		vex 3009	. . . . . . . . . . . . 13
85	2, 3, 63, 84	filnetlem1 27270	. . . . . . . . . . . 12
86	85	simplbi 448	. . . . . . . . . . 11
87	86	simpld 447	. . . . . . . . . 10
88	2, 3, 84, 71	filnetlem1 27270	. . . . . . . . . . . 12
89	88	simplbi 448	. . . . . . . . . . 11
90	89	simprd 451	. . . . . . . . . 10
91	87, 90	anim12i 551	. . . . . . . . 9
92	88	simprbi 452	. . . . . . . . . 10
93	85	simprbi 452	. . . . . . . . . 10
94	92, 93	sylan9ssr 3395	. . . . . . . . 9
95	2, 3, 63, 71	filnetlem1 27270	. . . . . . . . 9
96	91, 94, 95	sylanbrc 647	. . . . . . . 8
97	96	ax-gen 1562	. . . . . . 7
98	97	gen2 1563	. . . . . 6
99		cotr 5212	. . . . . 6
100	98, 99	mpbir 202	. . . . 5
101	83, 100	jctil 525	. . . 4
102		filtop 18391	. . . . . . . . 9
103		xpexg 6472	. . . . . . . . 9
104	102, 103	mpdan 651	. . . . . . . 8
105	104, 30	ssexd 4449	. . . . . . 7
106		xpexg 6472	. . . . . . 7
107	105, 105, 106	syl2anc 644	. . . . . 6
108		ssexg 4448	. . . . . 6
109	13, 107, 108	sylancr 646	. . . . 5
110	21	isdir 15180	. . . . 5
111	109, 110	syl 16	. . . 4
112	33, 101, 111	mpbir2and 890	. . 3
113	30, 112	jca 520	. 2
114	21, 113	pm3.2i 443	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  A.wal 1556  E.wex 1557  =wceq 1662  e.wcel 1724  =/=wne 2644  A.wral 2751  cvv 3006  u.cun 3351  i^icin 3352  C_wss 3353  c0 3660  {csn 3894  <.cop 3897  U.cuni 4101  U_ciun 4181   class class class wbr 4302  {copab 4359  cid 4634  X.cxp 4842  `'ccnv 4843  domcdm 4844  rancrn 4845  |`cres 4846  o.ccom 4848  Relwrel 4849  `cfv 5417  c1st 6536  cdir 15176  cfil 18381

This theorem is referenced by:  filnetlem4  27273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1562  ax-4 1573  ax-5 1636  ax-6 1677  ax-7 1697  ax-8 1726  ax-9 1728  ax-10 1743  ax-11 1748  ax-12 1760  ax-13 1947  ax-ext 2462  ax-sep 4423  ax-nul 4431  ax-pow 4477  ax-pr 4538  ax-un 6338

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1337  df-ex 1558  df-nf 1561  df-sb 1669  df-eu 2309  df-mo 2310  df-clab 2468  df-cleq 2474  df-clel 2477  df-nfc 2606  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3008  df-sbc 3213  df-csb 3314  df-dif 3356  df-un 3358  df-in 3360  df-ss 3367  df-nul 3661  df-if 3813  df-pw 3880  df-sn 3900  df-pr 3901  df-op 3903  df-uni 4102  df-iun 4183  df-br 4303  df-opab 4361  df-mpt 4362  df-id 4639  df-xp 4850  df-rel 4851  df-cnv 4852  df-co 4853  df-dm 4854  df-rn 4855  df-res 4856  df-ima 4857  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-1st 6538  df-dir 15178  df-fbas 17202  df-fil 18382