Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  filnetlem3 Unicode version

Theorem filnetlem3 27781
Description: Lemma for filnet 27783. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
filnet.h
filnet.d
Assertion
Ref Expression
filnetlem3
Distinct variable groups:   , , ,   , ,   ,
Allowed substitution hints:   ( , , )   ( )   ( , )

Proof of Theorem filnetlem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmresi 5184 . . . . . 6
2 filnet.h . . . . . . . . 9
3 filnet.d . . . . . . . . 9
42, 3filnetlem2 27780 . . . . . . . 8
54simpli 446 . . . . . . 7
6 dmss 5061 . . . . . . 7
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6
81, 7eqsstr3i 3424 . . . . 5
9 ssun1 3556 . . . . 5
108, 9sstri 3402 . . . 4
11 dmrnssfld 5120 . . . 4
1210, 11sstri 3402 . . 3
134simpri 450 . . . . 5
14 uniss 4138 . . . . 5
15 uniss 4138 . . . . 5
1613, 14, 15mp2b 10 . . . 4
17 unixpss 4977 . . . . 5
18 unidm 3536 . . . . 5
1917, 18sseqtri 3425 . . . 4
2016, 19sstri 3402 . . 3
2112, 20eqssi 3409 . 2
22 filelss 18899 . . . . . . . 8
23 xpss2 4971 . . . . . . . 8
2422, 23syl 16 . . . . . . 7
2524ralrimiva 2843 . . . . . 6
26 ss2iun 4212 . . . . . 6
2725, 26syl 16 . . . . 5
28 iunxpconst 4917 . . . . 5
2927, 28syl6sseq 3439 . . . 4
302, 29syl5eqss 3437 . . 3
315a1i 11 . . . . 5
323relopabi 4987 . . . . 5
3331, 32jctil 525 . . . 4
34 simpl 445 . . . . . . . . . 10
3530adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
36 simprl 734 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36sseldd 3394 . . . . . . . . . . 11
38 xp1st 6612 . . . . . . . . . . 11
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . 10
40 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12
4135, 40sseldd 3394 . . . . . . . . . . 11
42 xp1st 6612 . . . . . . . . . . 11
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . 10
44 filinn0 18907 . . . . . . . . . 10
4534, 39, 43, 44syl3anc 1192 . . . . . . . . 9
46 n0 3682 . . . . . . . . 9
4745, 46sylib 190 . . . . . . . 8
4836adantr 453 . . . . . . . . . 10
49 filin 18901 . . . . . . . . . . . . . 14
5034, 39, 43, 49syl3anc 1192 . . . . . . . . . . . . 13
5150adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
52 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12
53 id 21 . . . . . . . . . . . . 13
5453opeliunxp2 5000 . . . . . . . . . . . 12
5551, 52, 54sylanbrc 647 . . . . . . . . . . 11
5655, 2syl6eleqr 2580 . . . . . . . . . 10
57 fvex 5718 . . . . . . . . . . . . . 14
5857inex1 4459 . . . . . . . . . . . . 13
59 vex 3018 . . . . . . . . . . . . 13
6058, 59op1st 6591 . . . . . . . . . . . 12
61 inss1 3606 . . . . . . . . . . . 12
6260, 61eqsstri 3423 . . . . . . . . . . 11
63 vex 3018 . . . . . . . . . . . 12
64 opex 4579 . . . . . . . . . . . 12
652, 3, 63, 64filnetlem1 27779 . . . . . . . . . . 11
6662, 65mpbiran2 887 . . . . . . . . . 10
6748, 56, 66sylanbrc 647 . . . . . . . . 9
6840adantr 453 . . . . . . . . . 10
69 inss2 3607 . . . . . . . . . . . 12
7060, 69eqsstri 3423 . . . . . . . . . . 11
71 vex 3018 . . . . . . . . . . . 12
722, 3, 71, 64filnetlem1 27779 . . . . . . . . . . 11
7370, 72mpbiran2 887 . . . . . . . . . 10
7468, 56, 73sylanbrc 647 . . . . . . . . 9
75 breq2 4322 . . . . . . . . . . 11
76 breq2 4322 . . . . . . . . . . 11
7775, 76anbi12d 693 . . . . . . . . . 10
7864, 77spcev 3104 . . . . . . . . 9
7967, 74, 78syl2anc 644 . . . . . . . 8
8047, 79exlimddv 1666 . . . . . . 7
8180ralrimivva 2852 . . . . . 6
82 codir 5241 . . . . . 6
8381, 82sylibr 205 . . . . 5
84 vex 3018 . . . . . . . . . . . . 13
852, 3, 63, 84filnetlem1 27779 . . . . . . . . . . . 12
8685simplbi 448 . . . . . . . . . . 11
8786simpld 447 . . . . . . . . . 10
882, 3, 84, 71filnetlem1 27779 . . . . . . . . . . . 12
8988simplbi 448 . . . . . . . . . . 11
9089simprd 451 . . . . . . . . . 10
9187, 90anim12i 551 . . . . . . . . 9
9288simprbi 452 . . . . . . . . . 10
9385simprbi 452 . . . . . . . . . 10
9492, 93sylan9ssr 3407 . . . . . . . . 9
952, 3, 63, 71filnetlem1 27779 . . . . . . . . 9
9691, 94, 95sylanbrc 647 . . . . . . . 8
9796ax-gen 1570 . . . . . . 7
9897gen2 1571 . . . . . 6
99 cotr 5233 . . . . . 6
10098, 99mpbir 202 . . . . 5
10183, 100jctil 525 . . . 4
102 filtop 18902 . . . . . . . . 9
103 xpexg 6517 . . . . . . . . 9
104102, 103mpdan 651 . . . . . . . 8
105104, 30ssexd 4465 . . . . . . 7
106 xpexg 6517 . . . . . . 7
107105, 105, 106syl2anc 644 . . . . . 6
108 ssexg 4464 . . . . . 6
10913, 107, 108sylancr 646 . . . . 5
11021isdir 15243 . . . . 5
111109, 110syl 16 . . . 4
11233, 101, 111mpbir2and 890 . . 3
11330, 112jca 520 . 2
11421, 113pm3.2i 443 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  A.wal 1564  E.wex 1565  =wceq 1670  e.wcel 1732  =/=wne 2652  A.wral 2759   cvv 3015  u.cun 3363  i^icin 3364  C_wss 3365   c0 3673  {csn 3909  <.cop 3912  U.cuni 4117  U_ciun 4197   class class class wbr 4318  {copab 4375   cid 4652  X.cxp 4860  `'ccnv 4861  domcdm 4862  rancrn 4863  |`cres 4864  o.ccom 4866  Relwrel 4867  `cfv 5438   c1st 6581   cdir 15239   cfil 18892
This theorem is referenced by:  filnetlem4  27782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1570  ax-4 1581  ax-5 1644  ax-6 1685  ax-7 1705  ax-8 1734  ax-9 1736  ax-10 1751  ax-11 1756  ax-12 1768  ax-13 1955  ax-ext 2470  ax-sep 4439  ax-nul 4447  ax-pow 4493  ax-pr 4554  ax-un 6382
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1338  df-ex 1566  df-nf 1569  df-sb 1677  df-eu 2317  df-mo 2318  df-clab 2476  df-cleq 2482  df-clel 2485  df-nfc 2614  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2764  df-rex 2765  df-reu 2766  df-rab 2768  df-v 3017  df-sbc 3225  df-csb 3326  df-dif 3368  df-un 3370  df-in 3372  df-ss 3379  df-nul 3674  df-if 3826  df-pw 3895  df-sn 3915  df-pr 3916  df-op 3918  df-uni 4118  df-iun 4199  df-br 4319  df-opab 4377  df-mpt 4378  df-id 4657  df-xp 4868  df-rel 4869  df-cnv 4870  df-co 4871  df-dm 4872  df-rn 4873  df-res 4874  df-ima 4875  df-iota 5401  df-fun 5440  df-fn 5441  df-f 5442  df-f1 5443  df-fo 5444  df-f1o 5445  df-fv 5446  df-1st 6583  df-dir 15241  df-fbas 17324  df-fil 18893
  Copyright terms: Public domain W3C validator