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Theorem fin1a2lem10 8810
Description: Lemma for fin1a2 8816. A nonempty finite union of members of a chain is a member of the chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem10

Proof of Theorem fin1a2lem10
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqneqall 2664 . . . . 5
2 tru 1399 . . . . . 6
32a1i 11 . . . . 5
41, 32thd 240 . . . 4
5 neeq1 2738 . . . . 5
6 soeq2 4825 . . . . . 6
7 unieq 4257 . . . . . . 7
8 id 22 . . . . . . 7
97, 8eleq12d 2539 . . . . . 6
106, 9imbi12d 320 . . . . 5
115, 10imbi12d 320 . . . 4
12 neeq1 2738 . . . . 5
13 soeq2 4825 . . . . . 6
14 unieq 4257 . . . . . . 7
15 id 22 . . . . . . 7
1614, 15eleq12d 2539 . . . . . 6
1713, 16imbi12d 320 . . . . 5
1812, 17imbi12d 320 . . . 4
19 neeq1 2738 . . . . 5
20 soeq2 4825 . . . . . 6
21 unieq 4257 . . . . . . 7
22 id 22 . . . . . . 7
2321, 22eleq12d 2539 . . . . . 6
2420, 23imbi12d 320 . . . . 5
2519, 24imbi12d 320 . . . 4
26 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
2726unisn 4264 . . . . . . . . . . 11
28 ssnid 4058 . . . . . . . . . . 11
2927, 28eqeltri 2541 . . . . . . . . . 10
30 uneq1 3650 . . . . . . . . . . . . 13
31 uncom 3647 . . . . . . . . . . . . . 14
32 un0 3810 . . . . . . . . . . . . . 14
3331, 32eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . 13
3430, 33syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . 12
3534unieqd 4259 . . . . . . . . . . 11
3635, 34eleq12d 2539 . . . . . . . . . 10
3729, 36mpbiri 233 . . . . . . . . 9
3837a1d 25 . . . . . . . 8
3938adantl 466 . . . . . . 7
40 simpr 461 . . . . . . . 8
41 ssun1 3666 . . . . . . . . . 10
42 simpl2 1000 . . . . . . . . . 10
43 soss 4823 . . . . . . . . . 10
4441, 42, 43mpsyl 63 . . . . . . . . 9
45 uniun 4268 . . . . . . . . . . . 12
4627uneq2i 3654 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46eqtri 2486 . . . . . . . . . . 11
48 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12
49 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . 13
50 elun1 3670 . . . . . . . . . . . . . 14
5150ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13
52 ssun2 3667 . . . . . . . . . . . . . . 15
5352, 28sselii 3500 . . . . . . . . . . . . . 14
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
55 sorpssi 6586 . . . . . . . . . . . . 13
5649, 51, 54, 55syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . 12
57 ssequn1 3673 . . . . . . . . . . . . . . 15
5853a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
59 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6058, 59syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . 15
6157, 60sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14
6261impcom 430 . . . . . . . . . . . . 13
63 uncom 3647 . . . . . . . . . . . . . 14
64 ssequn1 3673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6650, 65syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6764, 66sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15
6867impcom 430 . . . . . . . . . . . . . 14
6963, 68syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . . . 13
7062, 69jaodan 785 . . . . . . . . . . . 12
7148, 56, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
7247, 71syl5eqel 2549 . . . . . . . . . 10
7372expr 615 . . . . . . . . 9
7444, 73embantd 54 . . . . . . . 8
7540, 74embantd 54 . . . . . . 7
7639, 75pm2.61dane 2775 . . . . . 6
77763exp 1195 . . . . 5
7877com24 87 . . . 4
794, 11, 18, 25, 2, 78findcard2 7780 . . 3
8079com12 31 . 2
81803imp 1190 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395   wtru 1396  e.wcel 1818  =/=wne 2652  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  U.cuni 4249  Orwor 4804   crpss 6579   cfn 7536
This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  8811  pgpfac1lem5  17130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-rpss 6580  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540
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