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Theorem fin1a2lem11 8811
Description: Lemma for fin1a2 8816. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem11
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem fin1a2lem11
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . 3
21rnmpt 5253 . 2
3 unieq 4257 . . . . . . . . . . . 12
4 uni0 4276 . . . . . . . . . . . 12
53, 4syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11
65adantl 466 . . . . . . . . . 10
7 0ex 4582 . . . . . . . . . . 11
87elsnc2 4060 . . . . . . . . . 10
96, 8sylibr 212 . . . . . . . . 9
109olcd 393 . . . . . . . 8
11 ssrab2 3584 . . . . . . . . . 10
12 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
13 simplll 759 . . . . . . . . . . . 12
14 simpllr 760 . . . . . . . . . . . 12
15 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12
16 fin1a2lem9 8809 . . . . . . . . . . . 12
1713, 14, 15, 16syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
18 soss 4823 . . . . . . . . . . . 12
1911, 13, 18mpsyl 63 . . . . . . . . . . 11
20 fin1a2lem10 8810 . . . . . . . . . . 11
2112, 17, 19, 20syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
2211, 21sseldi 3501 . . . . . . . . 9
2322orcd 392 . . . . . . . 8
2410, 23pm2.61dane 2775 . . . . . . 7
25 eleq1 2529 . . . . . . . 8
26 eleq1 2529 . . . . . . . 8
2725, 26orbi12d 709 . . . . . . 7
2824, 27syl5ibrcom 222 . . . . . 6
2928rexlimdva 2949 . . . . 5
30 simpr 461 . . . . . . . . . 10
3130sselda 3503 . . . . . . . . 9
32 ficardom 8363 . . . . . . . . 9
3331, 32syl 16 . . . . . . . 8
34 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
35 ficardid 8364 . . . . . . . . . . . . 13
3631, 35syl 16 . . . . . . . . . . . 12
37 ensym 7584 . . . . . . . . . . . 12
38 endom 7562 . . . . . . . . . . . 12
3936, 37, 383syl 20 . . . . . . . . . . 11
40 breq1 4455 . . . . . . . . . . . 12
4140elrab 3257 . . . . . . . . . . 11
4234, 39, 41sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10
43 elssuni 4279 . . . . . . . . . 10
4442, 43syl 16 . . . . . . . . 9
45 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . 13
4645elrab 3257 . . . . . . . . . . . 12
47 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15
4836adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
49 domentr 7594 . . . . . . . . . . . . . . 15
5047, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
51 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16
52 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5351, 52sseldd 3504 . . . . . . . . . . . . . . 15
5431adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
55 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16
56 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16
57 sorpssi 6586 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5855, 52, 56, 57syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15
59 fincssdom 8724 . . . . . . . . . . . . . . 15
6053, 54, 58, 59syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14
6150, 60mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
6261ex 434 . . . . . . . . . . . 12
6346, 62syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11
6463ralrimiv 2869 . . . . . . . . . 10
65 unissb 4281 . . . . . . . . . 10
6664, 65sylibr 212 . . . . . . . . 9
6744, 66eqssd 3520 . . . . . . . 8
68 breq2 4456 . . . . . . . . . . . 12
6968rabbidv 3101 . . . . . . . . . . 11
7069unieqd 4259 . . . . . . . . . 10
7170eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9
7271rspcev 3210 . . . . . . . 8
7333, 67, 72syl2anc 661 . . . . . . 7
7473ex 434 . . . . . 6
75 elsn 4043 . . . . . . 7
76 peano1 6719 . . . . . . . . 9
77 dom0 7665 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7877biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
81 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . 14
8281elrab 3257 . . . . . . . . . . . . 13
83 elsn 4043 . . . . . . . . . . . . 13
8480, 82, 833imtr4g 270 . . . . . . . . . . . 12
8584ssrdv 3509 . . . . . . . . . . 11
86 uni0b 4274 . . . . . . . . . . 11
8785, 86sylibr 212 . . . . . . . . . 10
8887eqcomd 2465 . . . . . . . . 9
89 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . 13
9089rabbidv 3101 . . . . . . . . . . . 12
9190unieqd 4259 . . . . . . . . . . 11
9291eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10
9392rspcev 3210 . . . . . . . . 9
9476, 88, 93sylancr 663 . . . . . . . 8
95 eqeq1 2461 . . . . . . . . 9
9695rexbidv 2968 . . . . . . . 8
9794, 96syl5ibrcom 222 . . . . . . 7
9875, 97syl5bi 217 . . . . . 6
9974, 98jaod 380 . . . . 5
10029, 99impbid 191 . . . 4
101 elun 3644 . . . 4
102100, 101syl6bbr 263 . . 3
103102abbi1dv 2595 . 2
1042, 103syl5eq 2510 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Orwor 4804  rancrn 5005  `cfv 5593   crpss 6579   com 6700   cen 7533   cdom 7534   cfn 7536   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  fin1a2lem12  8812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-rpss 6580  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341
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