MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2lem12 Unicode version

Theorem fin1a2lem12 8812
Description: Lemma for fin1a2 8816. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem12

Proof of Theorem fin1a2lem12
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . 3
2 simpll1 1035 . . . . . . 7
32adantr 465 . . . . . 6
4 ssrab2 3584 . . . . . . . 8
54unissi 4272 . . . . . . 7
6 sspwuni 4416 . . . . . . . 8
76biimpi 194 . . . . . . 7
85, 7syl5ss 3514 . . . . . 6
93, 8syl 16 . . . . 5
10 elpw2g 4615 . . . . . 6
1110ad2antlr 726 . . . . 5
129, 11mpbird 232 . . . 4
13 eqid 2457 . . . 4
1412, 13fmptd 6055 . . 3
15 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
1615sucex 6646 . . . . . . . . . 10
17 sssucid 4960 . . . . . . . . . 10
18 ssdomg 7581 . . . . . . . . . 10
1916, 17, 18mp2 9 . . . . . . . . 9
20 domtr 7588 . . . . . . . . 9
2119, 20mpan2 671 . . . . . . . 8
2221a1i 11 . . . . . . 7
2322ss2rabi 3581 . . . . . 6
24 uniss 4270 . . . . . 6
2523, 24mp1i 12 . . . . 5
26 id 22 . . . . . 6
27 pwexg 4636 . . . . . . . . 9
2827adantl 466 . . . . . . . 8
2928, 2ssexd 4599 . . . . . . 7
30 rabexg 4602 . . . . . . 7
31 uniexg 6597 . . . . . . 7
3229, 30, 313syl 20 . . . . . 6
33 breq2 4456 . . . . . . . . 9
3433rabbidv 3101 . . . . . . . 8
3534unieqd 4259 . . . . . . 7
3635, 13fvmptg 5954 . . . . . 6
3726, 32, 36syl2anr 478 . . . . 5
38 peano2 6720 . . . . . 6
39 rabexg 4602 . . . . . . 7
40 uniexg 6597 . . . . . . 7
4129, 39, 403syl 20 . . . . . 6
42 breq2 4456 . . . . . . . . 9
4342rabbidv 3101 . . . . . . . 8
4443unieqd 4259 . . . . . . 7
4544, 13fvmptg 5954 . . . . . 6
4638, 41, 45syl2anr 478 . . . . 5
4725, 37, 463sstr4d 3546 . . . 4
4847ralrimiva 2871 . . 3
49 fin34i 8782 . . 3
501, 14, 48, 49syl3anc 1228 . 2
51 fin1a2lem11 8811 . . . . . 6
5251adantrr 716 . . . . 5
53523ad2antl2 1159 . . . 4
5453adantr 465 . . 3
55 simpll3 1037 . . . . . 6
56 simplrr 762 . . . . . . 7
57 sspwuni 4416 . . . . . . . . . . 11
58 ss0b 3815 . . . . . . . . . . 11
5957, 58bitri 249 . . . . . . . . . 10
60 pw0 4177 . . . . . . . . . . . . 13
6160sseq2i 3528 . . . . . . . . . . . 12
62 sssn 4188 . . . . . . . . . . . 12
6361, 62bitri 249 . . . . . . . . . . 11
64 df-ne 2654 . . . . . . . . . . . 12
65 0ex 4582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6665unisn 4264 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6765snid 4057 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6866, 67eqeltri 2541 . . . . . . . . . . . . . . 15
69 unieq 4257 . . . . . . . . . . . . . . . 16
70 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7169, 70eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . . . 15
7268, 71mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . 14
7372orim2i 518 . . . . . . . . . . . . 13
7473ord 377 . . . . . . . . . . . 12
7564, 74syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11
7663, 75sylbi 195 . . . . . . . . . 10
7759, 76sylbir 213 . . . . . . . . 9
7877com12 31 . . . . . . . 8
7978con3d 133 . . . . . . 7
8056, 55, 79sylc 60 . . . . . 6
81 ioran 490 . . . . . 6
8255, 80, 81sylanbrc 664 . . . . 5
83 uniun 4268 . . . . . . . 8
8466uneq2i 3654 . . . . . . . 8
85 un0 3810 . . . . . . . 8
8683, 84, 853eqtri 2490 . . . . . . 7
8786eleq1i 2534 . . . . . 6
88 elun 3644 . . . . . 6
8965elsnc2 4060 . . . . . . 7
9089orbi2i 519 . . . . . 6
9187, 88, 903bitri 271 . . . . 5
9282, 91sylnibr 305 . . . 4
93 unieq 4257 . . . . . 6
94 id 22 . . . . . 6
9593, 94eleq12d 2539 . . . . 5
9695notbid 294 . . . 4
9792, 96syl5ibrcom 222 . . 3
9854, 97mpd 15 . 2
9950, 98pm2.65da 576 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  {crab 2811   cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Orwor 4804  succsuc 4885  rancrn 5005  -->wf 5589  `cfv 5593   crpss 6579   com 6700   cdom 7534   cfn 7536   cfin3 8682
This theorem is referenced by:  fin1a2s  8815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-rpss 6580  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-wdom 8006  df-card 8341  df-fin4 8688  df-fin3 8689
  Copyright terms: Public domain W3C validator