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Theorem fin1a2lem13 8813
Description: Lemma for fin1a2 8816. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem13

Proof of Theorem fin1a2lem13
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . 3
2 simpll1 1035 . . . 4
3 ssel2 3498 . . . . . . . . . 10
43elpwid 4022 . . . . . . . . 9
54ssdifd 3639 . . . . . . . 8
6 sseq1 3524 . . . . . . . 8
75, 6syl5ibrcom 222 . . . . . . 7
87rexlimdva 2949 . . . . . 6
9 vex 3112 . . . . . . 7
10 eqid 2457 . . . . . . . 8
1110elrnmpt 5254 . . . . . . 7
129, 11ax-mp 5 . . . . . 6
13 selpw 4019 . . . . . 6
148, 12, 133imtr4g 270 . . . . 5
1514ssrdv 3509 . . . 4
162, 15syl 16 . . 3
17 simplrr 762 . . . 4
18 difid 3896 . . . . . . 7
1918eqcomi 2470 . . . . . 6
20 difeq1 3614 . . . . . . . 8
2120eqeq2d 2471 . . . . . . 7
2221rspcev 3210 . . . . . 6
2319, 22mpan2 671 . . . . 5
24 0ex 4582 . . . . . 6
2510elrnmpt 5254 . . . . . 6
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5
2723, 26sylibr 212 . . . 4
28 ne0i 3790 . . . 4
2917, 27, 283syl 20 . . 3
30 simpll2 1036 . . . 4
31 vex 3112 . . . . . . . 8
3210elrnmpt 5254 . . . . . . . 8
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . 7
34 difeq1 3614 . . . . . . . . . 10
3534eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9
3635cbvrexv 3085 . . . . . . . 8
37 sorpssi 6586 . . . . . . . . . . . . . . . 16
38 ssdif 3638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
39 ssdif 3638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4038, 39orim12i 516 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4137, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 sseq2 3525 . . . . . . . . . . . . . . . 16
43 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4442, 43orbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . . 15
4541, 44syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . 14
4645expr 615 . . . . . . . . . . . . 13
4746rexlimdv 2947 . . . . . . . . . . . 12
4812, 47syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11
4948ralrimiv 2869 . . . . . . . . . 10
50 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . 12
51 sseq2 3525 . . . . . . . . . . . 12
5250, 51orbi12d 709 . . . . . . . . . . 11
5352ralbidv 2896 . . . . . . . . . 10
5449, 53syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9
5554rexlimdva 2949 . . . . . . . 8
5636, 55syl5bi 217 . . . . . . 7
5733, 56syl5bi 217 . . . . . 6
5857ralrimiv 2869 . . . . 5
59 sorpss 6585 . . . . 5
6058, 59sylibr 212 . . . 4
6130, 60syl 16 . . 3
62 fin2i 8696 . . 3
631, 16, 29, 61, 62syl22anc 1229 . 2
64 simpll3 1037 . . 3
65 difeq1 3614 . . . . . . 7
6665cbvmptv 4543 . . . . . 6
6766elrnmpt 5254 . . . . 5
6867ibi 241 . . . 4
69 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
70 difeq1 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7170eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7271rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7369, 72mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . 15
7473adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
75 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
76 difexg 4600 . . . . . . . . . . . . . . 15
7710elrnmpt 5254 . . . . . . . . . . . . . . 15
7875, 76, 77mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14
7974, 78sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13
80 elssuni 4279 . . . . . . . . . . . . 13
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . . 12
82 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12
8381, 82sseqtrd 3539 . . . . . . . . . . 11
8483adantll 713 . . . . . . . . . 10
85 unss2 3674 . . . . . . . . . . 11
86 uncom 3647 . . . . . . . . . . . . . . 15
87 undif1 3903 . . . . . . . . . . . . . . 15
8886, 87eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . 14
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
9064ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9117ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
92 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
93 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
94 difeq1 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9594eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9695rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9793, 96mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
98 difexg 4600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9910elrnmpt 5254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
10031, 98, 99mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
10197, 100sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
102101adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
103 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
104 ssdif0 3885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
105104biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
106105ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
107103, 106eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
108 uni0c 4275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
109107, 108sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
110 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
111110rspcva 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
112102, 109, 111syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
113 ssdif0 3885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
114112, 113sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
115114ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
116 unissb 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
117115, 116sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118 elssuni 4279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119118ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
120117, 119eqssd 3520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
121 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
122120, 121eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
123122ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12491, 92, 123syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12590, 124mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . 15
12630ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16
128 sorpssi 6586 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129126, 127, 91, 128syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15
130 orel1 382 . . . . . . . . . . . . . . 15
131125, 129, 130sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14
132 undif 3908 . . . . . . . . . . . . . 14
133131, 132sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
13489, 133sseq12d 3532 . . . . . . . . . . . 12
135 ssun1 3666 . . . . . . . . . . . . 13
136 sstr 3511 . . . . . . . . . . . . 13
137135, 136mpan 670 . . . . . . . . . . . 12
138134, 137syl6bi 228 . . . . . . . . . . 11
13985, 138syl5 32 . . . . . . . . . 10
14084, 139mpd 15 . . . . . . . . 9
141140ralrimiva 2871 . . . . . . . 8
142 unissb 4281 . . . . . . . 8
143141, 142sylibr 212 . . . . . . 7
144 elssuni 4279 . . . . . . . 8
145144ad2antrl 727 . . . . . . 7
146143, 145eqssd 3520 . . . . . 6
147 simprl 756 . . . . . 6
148146, 147eqeltrd 2545 . . . . 5
149148rexlimdvaa 2950 . . . 4
15068, 149syl5 32 . . 3
15164, 150mtod 177 . 2
15263, 151pm2.65da 576 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  e.cmpt 4510  Orwor 4804  rancrn 5005   crpss 6579   cfn 7536   cfin2 8680
This theorem is referenced by:  fin1a2s  8815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015  df-rpss 6580  df-fin2 8687
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