MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2lem6 Unicode version

Theorem fin1a2lem6 8806
Description: Lemma for fin1a2 8816. Establish that can be broken into two equipollent pieces. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin1a2lem.b
fin1a2lem.aa
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem6

Proof of Theorem fin1a2lem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin1a2lem.aa . . . 4
21fin1a2lem2 8802 . . 3
3 fin1a2lem.b . . . . 5
43fin1a2lem4 8804 . . . 4
5 f1f 5786 . . . 4
6 frn 5742 . . . . 5
7 omsson 6704 . . . . 5
86, 7syl6ss 3515 . . . 4
94, 5, 8mp2b 10 . . 3
10 f1ores 5835 . . 3
112, 9, 10mp2an 672 . 2
129sseli 3499 . . . . . . . . 9
131fin1a2lem1 8801 . . . . . . . . 9
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8
1514eqeq1d 2459 . . . . . . 7
1615rexbiia 2958 . . . . . 6
174, 5, 6mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12
1817sseli 3499 . . . . . . . . . . 11
19 peano2 6720 . . . . . . . . . . 11
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . 10
213fin1a2lem5 8805 . . . . . . . . . . . 12
2221biimpd 207 . . . . . . . . . . 11
2318, 22mpcom 36 . . . . . . . . . 10
2420, 23jca 532 . . . . . . . . 9
25 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
26 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11
2726notbid 294 . . . . . . . . . 10
2825, 27anbi12d 710 . . . . . . . . 9
2924, 28syl5ibcom 220 . . . . . . . 8
3029rexlimiv 2943 . . . . . . 7
31 peano1 6719 . . . . . . . . . . . . . 14
323fin1a2lem3 8803 . . . . . . . . . . . . . 14
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
34 om0x 7188 . . . . . . . . . . . . 13
3533, 34eqtri 2486 . . . . . . . . . . . 12
36 f1fun 5788 . . . . . . . . . . . . . 14
374, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
38 f1dm 5790 . . . . . . . . . . . . . . 15
394, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
4031, 39eleqtrri 2544 . . . . . . . . . . . . 13
41 fvelrn 6024 . . . . . . . . . . . . 13
4237, 40, 41mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12
4335, 42eqeltrri 2542 . . . . . . . . . . 11
44 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11
4543, 44mpbiri 233 . . . . . . . . . 10
4645necon3bi 2686 . . . . . . . . 9
47 nnsuc 6717 . . . . . . . . 9
4846, 47sylan2 474 . . . . . . . 8
49 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16
50 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5150notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5249, 51anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15
5352anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . 14
54 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15
5521adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
5654, 55mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14
5753, 56syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . 13
5857com12 31 . . . . . . . . . . . 12
5958impr 619 . . . . . . . . . . 11
60 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12
6160eqcomd 2465 . . . . . . . . . . 11
6259, 61jca 532 . . . . . . . . . 10
6362ex 434 . . . . . . . . 9
6463reximdv2 2928 . . . . . . . 8
6548, 64mpd 15 . . . . . . 7
6630, 65impbii 188 . . . . . 6
6716, 66bitri 249 . . . . 5
68 f1fn 5787 . . . . . . 7
692, 68ax-mp 5 . . . . . 6
70 fvelimab 5929 . . . . . 6
7169, 9, 70mp2an 672 . . . . 5
72 eldif 3485 . . . . 5
7367, 71, 723bitr4i 277 . . . 4
7473eqriv 2453 . . 3
75 f1oeq3 5814 . . 3
7674, 75ax-mp 5 . 2
7711, 76mpbi 208 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  e.cmpt 4510   con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700   c2o 7143   comu 7147
This theorem is referenced by:  fin1a2lem7  8807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154
  Copyright terms: Public domain W3C validator