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Theorem fin1a2lem7 8807
Description: Lemma for fin1a2 8816. Split a III-infinite set in two pieces. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin1a2lem.b
fin1a2lem.aa
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem7
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fin1a2lem7
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1 6719 . . . . . 6
2 ne0i 3790 . . . . . 6
3 brwdomn0 8016 . . . . . 6
41, 2, 3mp2b 10 . . . . 5
5 cnvimass 5362 . . . . . . . . . 10
6 fof 5800 . . . . . . . . . . 11
7 fdm 5740 . . . . . . . . . . 11
86, 7syl 16 . . . . . . . . . 10
95, 8syl5sseq 3551 . . . . . . . . 9
10 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
11 dmfex 6758 . . . . . . . . . . 11
1210, 6, 11sylancr 663 . . . . . . . . . 10
13 elpw2g 4615 . . . . . . . . . 10
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9
159, 14mpbird 232 . . . . . . . 8
16 fin1a2lem.b . . . . . . . . . . . . . 14
1716fin1a2lem4 8804 . . . . . . . . . . . . 13
18 f1cnv 5844 . . . . . . . . . . . . 13
19 f1ofo 5828 . . . . . . . . . . . . 13
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12
21 fofun 5801 . . . . . . . . . . . 12
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
2310resex 5322 . . . . . . . . . . 11
24 cofunexg 6764 . . . . . . . . . . 11
2522, 23, 24mp2an 672 . . . . . . . . . 10
26 fofun 5801 . . . . . . . . . . . . 13
27 fores 5809 . . . . . . . . . . . . 13
2826, 5, 27sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12
29 f1f 5786 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 frn 5742 . . . . . . . . . . . . . . 15
3117, 29, 30mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14
32 foimacnv 5838 . . . . . . . . . . . . . 14
3331, 32mpan2 671 . . . . . . . . . . . . 13
34 foeq3 5798 . . . . . . . . . . . . 13
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3628, 35mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
37 foco 5810 . . . . . . . . . . 11
3820, 36, 37sylancr 663 . . . . . . . . . 10
39 fowdom 8018 . . . . . . . . . 10
4025, 38, 39sylancr 663 . . . . . . . . 9
41 cnvexg 6746 . . . . . . . . . . . 12
42 imaexg 6737 . . . . . . . . . . . 12
4310, 41, 42mp2b 10 . . . . . . . . . . 11
44 isfin3-2 8768 . . . . . . . . . . 11
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
4645con2bii 332 . . . . . . . . 9
4740, 46sylib 196 . . . . . . . 8
48 fin1a2lem.aa . . . . . . . . . . . . . . 15
4916, 48fin1a2lem6 8806 . . . . . . . . . . . . . 14
50 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . . . . . 14
51 f1ofo 5828 . . . . . . . . . . . . . 14
5249, 50, 51mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13
53 foco 5810 . . . . . . . . . . . . 13
5420, 52, 53mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12
55 fofun 5801 . . . . . . . . . . . 12
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
5710resex 5322 . . . . . . . . . . 11
58 cofunexg 6764 . . . . . . . . . . 11
5956, 57, 58mp2an 672 . . . . . . . . . 10
60 difss 3630 . . . . . . . . . . . . . 14
6160, 8syl5sseqr 3552 . . . . . . . . . . . . 13
62 fores 5809 . . . . . . . . . . . . 13
6326, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
64 funcnvcnv 5651 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65 imadif 5668 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6626, 64, 653syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766imaeq2d 5342 . . . . . . . . . . . . . 14
68 difss 3630 . . . . . . . . . . . . . . 15
69 foimacnv 5838 . . . . . . . . . . . . . . 15
7068, 69mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . 14
71 fimacnv 6019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
726, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7372difeq1d 3620 . . . . . . . . . . . . . . 15
7473imaeq2d 5342 . . . . . . . . . . . . . 14
7567, 70, 743eqtr3rd 2507 . . . . . . . . . . . . 13
76 foeq3 5798 . . . . . . . . . . . . 13
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . 12
7863, 77mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
79 foco 5810 . . . . . . . . . . 11
8054, 78, 79sylancr 663 . . . . . . . . . 10
81 fowdom 8018 . . . . . . . . . 10
8259, 80, 81sylancr 663 . . . . . . . . 9
83 difexg 4600 . . . . . . . . . . 11
84 isfin3-2 8768 . . . . . . . . . . 11
8512, 83, 843syl 20 . . . . . . . . . 10
8685con2bid 329 . . . . . . . . 9
8782, 86mpbid 210 . . . . . . . 8
88 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12
89 difeq2 3615 . . . . . . . . . . . . 13
9089eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12
9188, 90orbi12d 709 . . . . . . . . . . 11
9291notbid 294 . . . . . . . . . 10
93 ioran 490 . . . . . . . . . 10
9492, 93syl6bb 261 . . . . . . . . 9
9594rspcev 3210 . . . . . . . 8
9615, 47, 87, 95syl12anc 1226 . . . . . . 7
97 rexnal 2905 . . . . . . 7
9896, 97sylib 196 . . . . . 6
9998exlimiv 1722 . . . . 5
1004, 99sylbi 195 . . . 4
101100con2i 120 . . 3
102 isfin3-2 8768 . . 3
103101, 102syl5ibr 221 . 2
104103imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   con0 4883  succsuc 4885  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  o.ccom 5008  Funwfun 5587  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  (class class class)co 6296   com 6700   c2o 7143   comu 7147   cwdom 8004   cfin3 8682
This theorem is referenced by:  fin1a2lem8  8808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-wdom 8006  df-card 8341  df-fin4 8688  df-fin3 8689
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