Theorem fin1a2lem9 8809

Description: Lemma for fin1a2 8816. In a chain of finite sets, initial segments are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2lem9

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fin1a2lem9

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onfin2 7729	. . . . 5
2		inss2 3718	. . . . 5
3	1, 2	eqsstri 3533	. . . 4
4		peano2 6720	. . . 4
5	3, 4	sseldi 3501	. . 3
6	5	3ad2ant3 1019	. 2
7	4	3ad2ant3 1019	. . 3
8		breq1 4455	. . . . . 6
9	8	elrab 3257	. . . . 5
10		simprr 757	. . . . . . . 8
11		simpl2 1000	. . . . . . . . . . 11
12		simprl 756	. . . . . . . . . . 11
13	11, 12	sseldd 3504	. . . . . . . . . 10
14		finnum 8350	. . . . . . . . . 10
15	13, 14	syl 16	. . . . . . . . 9
16		simpl3 1001	. . . . . . . . . . 11
17	3, 16	sseldi 3501	. . . . . . . . . 10
18		finnum 8350	. . . . . . . . . 10
19	17, 18	syl 16	. . . . . . . . 9
20		carddom2 8379	. . . . . . . . 9
21	15, 19, 20	syl2anc 661	. . . . . . . 8
22	10, 21	mpbird 232	. . . . . . 7
23	22	ex 434	. . . . . 6
24		cardnn 8365	. . . . . . . . 9
25	24	sseq2d 3531	. . . . . . . 8
26		cardon 8346	. . . . . . . . 9
27		nnon 6706	. . . . . . . . 9
28		onsssuc 4970	. . . . . . . . 9
29	26, 27, 28	sylancr 663	. . . . . . . 8
30	25, 29	bitrd 253	. . . . . . 7
31	30	3ad2ant3 1019	. . . . . 6
32	23, 31	sylibd 214	. . . . 5
33	9, 32	syl5bi 217	. . . 4
34		elrabi 3254	. . . . 5
35		elrabi 3254	. . . . 5
36		ssel 3497	. . . . . . . . . . 11
37		ssel 3497	. . . . . . . . . . 11
38	36, 37	anim12d 563	. . . . . . . . . 10
39	38	imp 429	. . . . . . . . 9
40	39	3ad2antl2 1159	. . . . . . . 8
41		sorpssi 6586	. . . . . . . . 9
42	41	3ad2antl1 1158	. . . . . . . 8
43		finnum 8350	. . . . . . . . . . 11
44		carden2 8389	. . . . . . . . . . 11
45	14, 43, 44	syl2an 477	. . . . . . . . . 10
46	45	adantr 465	. . . . . . . . 9
47		fin23lem25 8725	. . . . . . . . . . 11
48	47	3expa 1196	. . . . . . . . . 10
49	48	biimpd 207	. . . . . . . . 9
50	46, 49	sylbid 215	. . . . . . . 8
51	40, 42, 50	syl2anc 661	. . . . . . 7
52		fveq2 5871	. . . . . . 7
53	51, 52	impbid1 203	. . . . . 6
54	53	ex 434	. . . . 5
55	34, 35, 54	syl2ani 656	. . . 4
56	33, 55	dom2d 7576	. . 3
57	7, 56	mpd 15	. 2
58		domfi 7761	. 2
59	6, 57, 58	syl2anc 661	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  Orwor 4804  con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  `cfv 5593  crpss 6579  com 6700  cen 7533  cdom 7534  cfn 7536  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  8811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-rpss 6580  df-om 6701  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341