Theorem fin23lem11 8718

Description: Lemma for isfin2-2 8720. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fin23lem11.1
fin23lem11.2
fin23lem11.3

Assertion

Ref	Expression
fin23lem11

Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem fin23lem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difeq2 3615	. . . . 5
2	1	eleq1d 2526	. . . 4
3	2	elrab 3257	. . 3
4		simp2r 1023	. . . . 5
5		difss 3630	. . . . . . . . . 10
6		ssun1 3666	. . . . . . . . . . . . 13
7		undif1 3903	. . . . . . . . . . . . 13
8	6, 7	sseqtr4i 3536	. . . . . . . . . . . 12
9		simpl2r 1050	. . . . . . . . . . . . 13
10		simpl2l 1049	. . . . . . . . . . . . 13
11		unexg 6601	. . . . . . . . . . . . 13
12	9, 10, 11	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
13		ssexg 4598	. . . . . . . . . . . 12
14	8, 12, 13	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11
15		elpw2g 4615	. . . . . . . . . . 11
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . . . 10
17	5, 16	mpbiri 233	. . . . . . . . 9
18		simpl1 999	. . . . . . . . . . . . 13
19		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13
20	18, 19	sseldd 3504	. . . . . . . . . . . 12
21	20	elpwid 4022	. . . . . . . . . . 11
22		dfss4 3731	. . . . . . . . . . 11
23	21, 22	sylib 196	. . . . . . . . . 10
24	23, 19	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9
25		difeq2 3615	. . . . . . . . . . 11
26	25	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10
27	26	elrab 3257	. . . . . . . . 9
28	17, 24, 27	sylanbrc 664	. . . . . . . 8
29		simpl3 1001	. . . . . . . 8
30		fin23lem11.2	. . . . . . . . . 10
31	30	notbid 294	. . . . . . . . 9
32	31	rspcva 3208	. . . . . . . 8
33	28, 29, 32	syl2anc 661	. . . . . . 7
34		simplrl 761	. . . . . . . . . . 11
35	34	elpwid 4022	. . . . . . . . . 10
36		ssel2 3498	. . . . . . . . . . . 12
37	36	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11
38	37	elpwid 4022	. . . . . . . . . 10
39		fin23lem11.3	. . . . . . . . . 10
40	35, 38, 39	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
41	40	notbid 294	. . . . . . . 8
42	41	3adantl3 1154	. . . . . . 7
43	33, 42	mpbird 232	. . . . . 6
44	43	ralrimiva 2871	. . . . 5
45		fin23lem11.1	. . . . . . . 8
46	45	notbid 294	. . . . . . 7
47	46	ralbidv 2896	. . . . . 6
48	47	rspcev 3210	. . . . 5
49	4, 44, 48	syl2anc 661	. . . 4
50	49	3exp 1195	. . 3
51	3, 50	syl5bi 217	. 2
52	51	rexlimdv 2947	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475  ~Pcpw 4012

This theorem is referenced by:  fin2i2  8719  isfin2-2  8720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-uni 4250