MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem14 Unicode version

Theorem fin23lem14 8734
Description: Lemma for fin23 8790. will never evolve to an empty set if it did not start with one. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem.a
Assertion
Ref Expression
fin23lem14
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem fin23lem14
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5871 . . . . 5
21neeq1d 2734 . . . 4
32imbi2d 316 . . 3
4 fveq2 5871 . . . . 5
54neeq1d 2734 . . . 4
65imbi2d 316 . . 3
7 fveq2 5871 . . . . 5
87neeq1d 2734 . . . 4
98imbi2d 316 . . 3
10 fveq2 5871 . . . . 5
1110neeq1d 2734 . . . 4
1211imbi2d 316 . . 3
13 vex 3112 . . . . . . 7
1413rnex 6734 . . . . . 6
1514uniex 6596 . . . . 5
16 fin23lem.a . . . . . 6
1716seqom0g 7140 . . . . 5
1815, 17mp1i 12 . . . 4
19 id 22 . . . 4
2018, 19eqnetrd 2750 . . 3
2116fin23lem12 8732 . . . . . . 7
2221adantr 465 . . . . . 6
23 iftrue 3947 . . . . . . . . 9
2423adantr 465 . . . . . . . 8
25 simprr 757 . . . . . . . 8
2624, 25eqnetrd 2750 . . . . . . 7
27 iffalse 3950 . . . . . . . . 9
2827adantr 465 . . . . . . . 8
29 df-ne 2654 . . . . . . . . . 10
3029biimpri 206 . . . . . . . . 9
3130adantr 465 . . . . . . . 8
3228, 31eqnetrd 2750 . . . . . . 7
3326, 32pm2.61ian 790 . . . . . 6
3422, 33eqnetrd 2750 . . . . 5
3534ex 434 . . . 4
3635imim2d 52 . . 3
373, 6, 9, 12, 20, 36finds 6726 . 2
3837imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  i^icin 3474   c0 3784  ifcif 3941  U.cuni 4249  succsuc 4885  rancrn 5005  `cfv 5593  e.cmpt2 6298   com 6700  seqomcseqom 7131
This theorem is referenced by:  fin23lem21  8740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132
  Copyright terms: Public domain W3C validator