Theorem fin23lem14 8734

Description: Lemma for fin23 8790. will never evolve to an empty set if it did not start with one. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin23lem.a

Assertion

Ref	Expression
fin23lem14

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem fin23lem14

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5871	. . . . 5
2	1	neeq1d 2734	. . . 4
3	2	imbi2d 316	. . 3
4		fveq2 5871	. . . . 5
5	4	neeq1d 2734	. . . 4
6	5	imbi2d 316	. . 3
7		fveq2 5871	. . . . 5
8	7	neeq1d 2734	. . . 4
9	8	imbi2d 316	. . 3
10		fveq2 5871	. . . . 5
11	10	neeq1d 2734	. . . 4
12	11	imbi2d 316	. . 3
13		vex 3112	. . . . . . 7
14	13	rnex 6734	. . . . . 6
15	14	uniex 6596	. . . . 5
16		fin23lem.a	. . . . . 6
17	16	seqom0g 7140	. . . . 5
18	15, 17	mp1i 12	. . . 4
19		id 22	. . . 4
20	18, 19	eqnetrd 2750	. . 3
21	16	fin23lem12 8732	. . . . . . 7
22	21	adantr 465	. . . . . 6
23		iftrue 3947	. . . . . . . . 9
24	23	adantr 465	. . . . . . . 8
25		simprr 757	. . . . . . . 8
26	24, 25	eqnetrd 2750	. . . . . . 7
27		iffalse 3950	. . . . . . . . 9
28	27	adantr 465	. . . . . . . 8
29		df-ne 2654	. . . . . . . . . 10
30	29	biimpri 206	. . . . . . . . 9
31	30	adantr 465	. . . . . . . 8
32	28, 31	eqnetrd 2750	. . . . . . 7
33	26, 32	pm2.61ian 790	. . . . . 6
34	22, 33	eqnetrd 2750	. . . . 5
35	34	ex 434	. . . 4
36	35	imim2d 52	. . 3
37	3, 6, 9, 12, 20, 36	finds 6726	. 2
38	37	imp 429	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  cvv 3109  i^icin 3474  c0 3784  ifcif 3941  U.cuni 4249  succsuc 4885  rancrn 5005  `cfv 5593  e.cmpt2 6298  com 6700  seqomcseqom 7131

This theorem is referenced by:  fin23lem21  8740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132