MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem17 Unicode version

Theorem fin23lem17 8739
Description: Lemma for fin23 8790. By ? Fin3DS ? , achieves its minimum ( in the synopsis above, but we will not be assigning a symbol here). TODO: Fix comment; math symbol Fin3DS does not exist. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem.a
fin23lem17.f
Assertion
Ref Expression
fin23lem17
Distinct variable groups:   , , , , ,   , ,   ,   ,   , , ,   ,

Proof of Theorem fin23lem17
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem.a . . . . . 6
21fnseqom 7139 . . . . 5
3 dffn3 5743 . . . . 5
42, 3mpbi 208 . . . 4
5 pwuni 4683 . . . . 5
61fin23lem16 8736 . . . . . 6
76pweqi 4016 . . . . 5
85, 7sseqtri 3535 . . . 4
9 fss 5744 . . . 4
104, 8, 9mp2an 672 . . 3
11 vex 3112 . . . . . . 7
1211rnex 6734 . . . . . 6
1312uniex 6596 . . . . 5
1413pwex 4635 . . . 4
15 f1f 5786 . . . . . 6
16 dmfex 6758 . . . . . 6
1711, 15, 16sylancr 663 . . . . 5
1817adantl 466 . . . 4
19 elmapg 7452 . . . 4
2014, 18, 19sylancr 663 . . 3
2110, 20mpbiri 233 . 2
22 fin23lem17.f . . . . 5
2322isfin3ds 8730 . . . 4
2423ibi 241 . . 3
2524adantr 465 . 2
261fin23lem13 8733 . . . 4
2726rgen 2817 . . 3
2827a1i 11 . 2
29 fveq1 5870 . . . . . 6
30 fveq1 5870 . . . . . 6
3129, 30sseq12d 3532 . . . . 5
3231ralbidv 2896 . . . 4
33 rneq 5233 . . . . . 6
3433inteqd 4291 . . . . 5
3534, 33eleq12d 2539 . . . 4
3632, 35imbi12d 320 . . 3
3736rspcv 3206 . 2
3821, 25, 28, 37syl3c 61 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  |^|cint 4286  succsuc 4885  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700  seqomcseqom 7131   cmap 7439
This theorem is referenced by:  fin23lem21  8740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-map 7441
  Copyright terms: Public domain W3C validator