Theorem fin23lem21 8740

Description: Lemma for fin23 8790. is not empty. We only need here that has at least one set in its range besides ; the much stronger hypothesis here will serve as our induction hypothesis though. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fin23lem.a
fin23lem17.f

Assertion

Ref	Expression
fin23lem21

Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,   ,   ,   ,,,   ,

Proof of Theorem fin23lem21

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin23lem.a	. . 3
2		fin23lem17.f	. . 3
3	1, 2	fin23lem17 8739	. 2
4	1	fnseqom 7139	. . . . 5
5		fvelrnb 5920	. . . . 5
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4
7		id 22	. . . . . . 7
8		vex 3112	. . . . . . . . . 10
9		f1f1orn 5832	. . . . . . . . . 10
10		f1oen3g 7551	. . . . . . . . . 10
11	8, 9, 10	sylancr 663	. . . . . . . . 9
12		ominf 7752	. . . . . . . . 9
13		ssdif0 3885	. . . . . . . . . . 11
14		snfi 7616	. . . . . . . . . . . . 13
15		ssfi 7760	. . . . . . . . . . . . 13
16	14, 15	mpan 670	. . . . . . . . . . . 12
17		enfi 7756	. . . . . . . . . . . 12
18	16, 17	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . 11
19	13, 18	syl5bir 218	. . . . . . . . . 10
20	19	necon3bd 2669	. . . . . . . . 9
21	11, 12, 20	mpisyl 18	. . . . . . . 8
22		n0 3794	. . . . . . . . 9
23		eldifsn 4155	. . . . . . . . . . 11
24		elssuni 4279	. . . . . . . . . . . 12
25		ssn0 3818	. . . . . . . . . . . 12
26	24, 25	sylan 471	. . . . . . . . . . 11
27	23, 26	sylbi 195	. . . . . . . . . 10
28	27	exlimiv 1722	. . . . . . . . 9
29	22, 28	sylbi 195	. . . . . . . 8
30	21, 29	syl 16	. . . . . . 7
31	1	fin23lem14 8734	. . . . . . 7
32	7, 30, 31	syl2anr 478	. . . . . 6
33		neeq1 2738	. . . . . 6
34	32, 33	syl5ibcom 220	. . . . 5
35	34	rexlimdva 2949	. . . 4
36	6, 35	syl5bi 217	. . 3
37	36	adantl 466	. 2
38	3, 37	mpd 15	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  \cdif 3472  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  succsuc 4885  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  com 6700  seqomcseqom 7131  cmap 7439  cen 7533  cfn 7536

This theorem is referenced by:  fin23lem31  8744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540