MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem22 Unicode version

Theorem fin23lem22 8728
Description: Lemma for fin23 8790 but could be used elsewhere if we find a good name for it. Explicit construction of a bijection (actually an isomorphism, see fin23lem27 8729) between an infinite subset of and itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem22.b
Assertion
Ref Expression
fin23lem22
Distinct variable group:   , ,S

Proof of Theorem fin23lem22
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem22.b . 2
2 fin23lem23 8727 . . 3
3 riotacl 6272 . . 3
42, 3syl 16 . 2
5 simpll 753 . . . 4
6 simpr 461 . . . 4
75, 6sseldd 3504 . . 3
8 nnfi 7730 . . 3
9 infi 7763 . . 3
10 ficardom 8363 . . 3
117, 8, 9, 104syl 21 . 2
12 cardnn 8365 . . . . . . 7
1312eqcomd 2465 . . . . . 6
1413eqeq1d 2459 . . . . 5
15 eqcom 2466 . . . . 5
1614, 15syl6bb 261 . . . 4
1716ad2antrl 727 . . 3
18 simpll 753 . . . . . . 7
19 simprr 757 . . . . . . 7
2018, 19sseldd 3504 . . . . . 6
21 nnon 6706 . . . . . 6
22 onenon 8351 . . . . . 6
2320, 21, 223syl 20 . . . . 5
24 inss1 3717 . . . . 5
25 ssnum 8441 . . . . 5
2623, 24, 25sylancl 662 . . . 4
27 nnon 6706 . . . . . 6
2827ad2antrl 727 . . . . 5
29 onenon 8351 . . . . 5
3028, 29syl 16 . . . 4
31 carden2 8389 . . . 4
3226, 30, 31syl2anc 661 . . 3
332adantrr 716 . . . . 5
34 ineq1 3692 . . . . . . 7
3534breq1d 4462 . . . . . 6
3635riota2 6280 . . . . 5
3719, 33, 36syl2anc 661 . . . 4
38 eqcom 2466 . . . 4
3937, 38syl6bb 261 . . 3
4017, 32, 393bitrd 279 . 2
411, 4, 11, 40f1o2d 6527 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E!wreu 2809  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   con0 4883  domcdm 5004  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  iota_crio 6256   com 6700   cen 7533   cfn 7536   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  fin23lem27  8729  fin23lem28  8741  fin23lem30  8743  isf32lem6  8759  isf32lem7  8760  isf32lem8  8761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341
  Copyright terms: Public domain W3C validator