Theorem fin23lem22 8728

Description: Lemma for fin23 8790 but could be used elsewhere if we find a good name for it. Explicit construction of a bijection (actually an isomorphism, see fin23lem27 8729) between an infinite subset of and itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin23lem22.b

Assertion

Ref	Expression
fin23lem22

Distinct variable group:   ,,S

Proof of Theorem fin23lem22

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin23lem22.b	. 2
2		fin23lem23 8727	. . 3
3		riotacl 6272	. . 3
4	2, 3	syl 16	. 2
5		simpll 753	. . . 4
6		simpr 461	. . . 4
7	5, 6	sseldd 3504	. . 3
8		nnfi 7730	. . 3
9		infi 7763	. . 3
10		ficardom 8363	. . 3
11	7, 8, 9, 10	4syl 21	. 2
12		cardnn 8365	. . . . . . 7
13	12	eqcomd 2465	. . . . . 6
14	13	eqeq1d 2459	. . . . 5
15		eqcom 2466	. . . . 5
16	14, 15	syl6bb 261	. . . 4
17	16	ad2antrl 727	. . 3
18		simpll 753	. . . . . . 7
19		simprr 757	. . . . . . 7
20	18, 19	sseldd 3504	. . . . . 6
21		nnon 6706	. . . . . 6
22		onenon 8351	. . . . . 6
23	20, 21, 22	3syl 20	. . . . 5
24		inss1 3717	. . . . 5
25		ssnum 8441	. . . . 5
26	23, 24, 25	sylancl 662	. . . 4
27		nnon 6706	. . . . . 6
28	27	ad2antrl 727	. . . . 5
29		onenon 8351	. . . . 5
30	28, 29	syl 16	. . . 4
31		carden2 8389	. . . 4
32	26, 30, 31	syl2anc 661	. . 3
33	2	adantrr 716	. . . . 5
34		ineq1 3692	. . . . . . 7
35	34	breq1d 4462	. . . . . 6
36	35	riota2 6280	. . . . 5
37	19, 33, 36	syl2anc 661	. . . 4
38		eqcom 2466	. . . 4
39	37, 38	syl6bb 261	. . 3
40	17, 32, 39	3bitrd 279	. 2
41	1, 4, 11, 40	f1o2d 6527	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E!wreu 2809  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  con0 4883  domcdm 5004  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  iota_crio 6256  com 6700  cen 7533  cfn 7536  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  fin23lem27  8729  fin23lem28  8741  fin23lem30  8743  isf32lem6  8759  isf32lem7  8760  isf32lem8  8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341