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Theorem fin23lem26 8726
Description: Lemma for fin23lem22 8728. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin23lem26
Distinct variable group:   , ,S

Proof of Theorem fin23lem26
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4456 . . . 4
21rexbidv 2968 . . 3
3 breq2 4456 . . . 4
43rexbidv 2968 . . 3
5 breq2 4456 . . . 4
65rexbidv 2968 . . 3
7 ordom 6709 . . . . . 6
87a1i 11 . . . . 5
9 simpl 457 . . . . 5
10 0fin 7767 . . . . . . . 8
11 eleq1 2529 . . . . . . . 8
1210, 11mpbiri 233 . . . . . . 7
1312necon3bi 2686 . . . . . 6
1413adantl 466 . . . . 5
15 tz7.5 4904 . . . . 5
168, 9, 14, 15syl3anc 1228 . . . 4
17 en0 7598 . . . . . 6
18 incom 3690 . . . . . . 7
1918eqeq1i 2464 . . . . . 6
2017, 19bitri 249 . . . . 5
2120rexbii 2959 . . . 4
2216, 21sylibr 212 . . 3
23 simplrl 761 . . . . . . . . . . 11
24 omsson 6704 . . . . . . . . . . 11
2523, 24syl6ss 3515 . . . . . . . . . 10
2625ssdifssd 3641 . . . . . . . . 9
27 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12
28 ssel2 3498 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 onfin2 7729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
30 inss2 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3129, 30eqsstri 3533 . . . . . . . . . . . . . . . 16
32 peano2 6720 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3331, 32sseldi 3501 . . . . . . . . . . . . . . 15
3428, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
3534adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13
36 ssfi 7760 . . . . . . . . . . . . . 14
3736ex 434 . . . . . . . . . . . . 13
3835, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3927, 38mtod 177 . . . . . . . . . . 11
40 ssdif0 3885 . . . . . . . . . . . 12
4140necon3bbii 2718 . . . . . . . . . . 11
4239, 41sylib 196 . . . . . . . . . 10
4342ad2ant2lr 747 . . . . . . . . 9
44 onint 6630 . . . . . . . . 9
4526, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . 8
4645eldifad 3487 . . . . . . 7
47 simprr 757 . . . . . . . . 9
48 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
49 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
50 en2sn 7615 . . . . . . . . . . 11
5148, 49, 50mp2an 672 . . . . . . . . . 10
5251a1i 11 . . . . . . . . 9
53 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12
5423, 53sseldd 3504 . . . . . . . . . . 11
55 nnord 6708 . . . . . . . . . . 11
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . 10
57 ordirr 4901 . . . . . . . . . . . 12
58 inss1 3717 . . . . . . . . . . . . 13
5958sseli 3499 . . . . . . . . . . . 12
6057, 59nsyl 121 . . . . . . . . . . 11
61 disjsn 4090 . . . . . . . . . . 11
6260, 61sylibr 212 . . . . . . . . . 10
6356, 62syl 16 . . . . . . . . 9
64 nnord 6708 . . . . . . . . . . . 12
65 ordirr 4901 . . . . . . . . . . . 12
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . 11
67 disjsn 4090 . . . . . . . . . . 11
6866, 67sylibr 212 . . . . . . . . . 10
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
70 unen 7618 . . . . . . . . 9
7147, 52, 63, 69, 70syl22anc 1229 . . . . . . . 8
72 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16
73 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7473, 24syl6ss 3515 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75 ordsuc 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7656, 75sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7776adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16
78 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7978ssdifssd 3641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
80 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
81 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8280, 81eldifd 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8382ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
84 onnmin 6638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8579, 83, 84syl6an 545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8685con4d 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8786imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
88 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
89 ordsucss 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9190imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9291sscond 3640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93 intss 4307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
95 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
96 ordelon 4907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9788, 96sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
98 onmindif 4972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9995, 97, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10094, 99sseldd 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10187, 100impbida 832 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10272, 74, 77, 101syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15
103 df-suc 4889 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104103eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . . . . 15
105102, 104syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14
106105expr 615 . . . . . . . . . . . . 13
107106pm5.32rd 640 . . . . . . . . . . . 12
108 elin 3686 . . . . . . . . . . . 12
109 elin 3686 . . . . . . . . . . . 12
110107, 108, 1093bitr4g 288 . . . . . . . . . . 11
111110eqrdv 2454 . . . . . . . . . 10
112 indir 3745 . . . . . . . . . 10
113111, 112syl6eq 2514 . . . . . . . . 9
114 snssi 4174 . . . . . . . . . . . 12
115 df-ss 3489 . . . . . . . . . . . 12
116114, 115sylib 196 . . . . . . . . . . 11
117116uneq2d 3657 . . . . . . . . . 10
118117ad2antrl 727 . . . . . . . . 9
119113, 118eqtrd 2498 . . . . . . . 8
120 df-suc 4889 . . . . . . . . 9
121120a1i 11 . . . . . . . 8
12271, 119, 1213brtr4d 4482 . . . . . . 7
123 ineq1 3692 . . . . . . . . 9
124123breq1d 4462 . . . . . . . 8
125124rspcev 3210 . . . . . . 7
12646, 122, 125syl2anc 661 . . . . . 6
127126rexlimdvaa 2950 . . . . 5
128 ineq1 3692 . . . . . . 7
129128breq1d 4462 . . . . . 6
130129cbvrexv 3085 . . . . 5
131127, 130syl6ib 226 . . . 4
132131ex 434 . . 3
1332, 4, 6, 22, 132finds2 6728 . 2
134133impcom 430 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  Ordword 4882   con0 4883  succsuc 4885   com 6700   cen 7533   cfn 7536
This theorem is referenced by:  fin23lem23  8727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540
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