MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem27 Unicode version

Theorem fin23lem27 8729
Description: The mapping constructed in fin23lem22 8728 is in fact an isomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem22.b
Assertion
Ref Expression
fin23lem27
Distinct variable group:   , ,S

Proof of Theorem fin23lem27
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 6709 . . . 4
2 ordwe 4896 . . . 4
3 weso 4875 . . . 4
41, 2, 3mp2b 10 . . 3
54a1i 11 . 2
6 sopo 4822 . . . . 5
74, 6ax-mp 5 . . . 4
8 poss 4807 . . . 4
97, 8mpi 17 . . 3
109adantr 465 . 2
11 fin23lem22.b . . . 4
1211fin23lem22 8728 . . 3
13 f1ofo 5828 . . 3
1412, 13syl 16 . 2
15 nnsdomel 8392 . . . . . . . 8
1615adantl 466 . . . . . . 7
1716biimpd 207 . . . . . 6
18 fin23lem23 8727 . . . . . . . . . . . . 13
1918adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12
20 ineq1 3692 . . . . . . . . . . . . . 14
2120breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . 13
2221cbvreuv 3086 . . . . . . . . . . . 12
2319, 22sylib 196 . . . . . . . . . . 11
24 nfv 1707 . . . . . . . . . . . 12
2521cbvriotav 6268 . . . . . . . . . . . 12
26 ineq1 3692 . . . . . . . . . . . . 13
2726breq1d 4462 . . . . . . . . . . . 12
2824, 25, 27riotaprop 6281 . . . . . . . . . . 11
2923, 28syl 16 . . . . . . . . . 10
3029simprd 463 . . . . . . . . 9
3130adantrr 716 . . . . . . . 8
32 simprr 757 . . . . . . . . 9
33 fin23lem23 8727 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . 14
3520breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635cbvreuv 3086 . . . . . . . . . . . . . 14
3734, 36sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
38 nfv 1707 . . . . . . . . . . . . . 14
3935cbvriotav 6268 . . . . . . . . . . . . . 14
40 ineq1 3692 . . . . . . . . . . . . . . 15
4140breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . 14
4238, 39, 41riotaprop 6281 . . . . . . . . . . . . 13
4337, 42syl 16 . . . . . . . . . . . 12
4443simprd 463 . . . . . . . . . . 11
4544ensymd 7586 . . . . . . . . . 10
4645adantrr 716 . . . . . . . . 9
47 sdomentr 7671 . . . . . . . . 9
4832, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . 8
49 ensdomtr 7673 . . . . . . . 8
5031, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . 7
5150expr 615 . . . . . 6
52 simpll 753 . . . . . . . . 9
53 omsson 6704 . . . . . . . . 9
5452, 53syl6ss 3515 . . . . . . . 8
5529simpld 459 . . . . . . . 8
5654, 55sseldd 3504 . . . . . . 7
5743simpld 459 . . . . . . . 8
5854, 57sseldd 3504 . . . . . . 7
59 onsdominel 7686 . . . . . . . 8
60593expia 1198 . . . . . . 7
6156, 58, 60syl2anc 661 . . . . . 6
6217, 51, 613syld 55 . . . . 5
63 simprl 756 . . . . . . 7
64 breq2 4456 . . . . . . . . 9
6564riotabidv 6259 . . . . . . . 8
6665, 11fvmptg 5954 . . . . . . 7
6763, 55, 66syl2anc 661 . . . . . 6
68 simprr 757 . . . . . . 7
69 breq2 4456 . . . . . . . . 9
7069riotabidv 6259 . . . . . . . 8
7170, 11fvmptg 5954 . . . . . . 7
7268, 57, 71syl2anc 661 . . . . . 6
7367, 72eleq12d 2539 . . . . 5
7462, 73sylibrd 234 . . . 4
75 epel 4799 . . . 4
76 fvex 5881 . . . . 5
7776epelc 4798 . . . 4
7874, 75, 773imtr4g 270 . . 3
7978ralrimivva 2878 . 2
80 soisoi 6224 . 2
815, 10, 14, 79, 80syl22anc 1229 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E!wreu 2809  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cep 4794  Powpo 4803  Orwor 4804  Wewwe 4842  Ordword 4882   con0 4883  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  iota_crio 6256   com 6700   cen 7533   csdm 7535   cfn 7536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341
  Copyright terms: Public domain W3C validator