MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem28 Unicode version

Theorem fin23lem28 8741
Description: Lemma for fin23 8790. The residual is also one-to-one. This preserves the induction invariant. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem.a
fin23lem17.f
fin23lem.b
fin23lem.c
fin23lem.d
fin23lem.e
Assertion
Ref Expression
fin23lem28
Distinct variable groups:   , , , , , , ,   , ,   , , , ,P   , , , ,   , , , , ,   ,   ,

Proof of Theorem fin23lem28
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem.e . . 3
2 eqif 3979 . . 3
31, 2mpbi 208 . 2
4 difss 3630 . . . . . . . . 9
5 ominf 7752 . . . . . . . . . 10
6 fin23lem.b . . . . . . . . . . . . . 14
7 ssrab2 3584 . . . . . . . . . . . . . 14
86, 7eqsstri 3533 . . . . . . . . . . . . 13
9 undif 3908 . . . . . . . . . . . . 13
108, 9mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12
11 unfi 7807 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11syl5eqelr 2550 . . . . . . . . . . 11
1312ex 434 . . . . . . . . . 10
145, 13mtoi 178 . . . . . . . . 9
15 fin23lem.d . . . . . . . . . 10
1615fin23lem22 8728 . . . . . . . . 9
174, 14, 16sylancr 663 . . . . . . . 8
1817adantl 466 . . . . . . 7
19 f1of1 5820 . . . . . . 7
20 f1ss 5791 . . . . . . . 8
214, 20mpan2 671 . . . . . . 7
2218, 19, 213syl 20 . . . . . 6
23 f1co 5795 . . . . . 6
2422, 23syldan 470 . . . . 5
25 f1eq1 5781 . . . . 5
2624, 25syl5ibrcom 222 . . . 4
2726impr 619 . . 3
28 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
29 difexg 4600 . . . . . . . . . . 11
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
3130rgenw 2818 . . . . . . . . 9
32 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
3332fmpt 6052 . . . . . . . . 9
3431, 33mpbi 208 . . . . . . . 8
3534a1i 11 . . . . . . 7
36 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
3736difeq1d 3620 . . . . . . . . . . . 12
38 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
39 difexg 4600 . . . . . . . . . . . . 13
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
4137, 32, 40fvmpt 5956 . . . . . . . . . . 11
4241ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10
43 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
4443difeq1d 3620 . . . . . . . . . . . 12
45 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
46 difexg 4600 . . . . . . . . . . . . 13
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
4844, 32, 47fvmpt 5956 . . . . . . . . . . 11
4948ad2antll 728 . . . . . . . . . 10
5042, 49eqeq12d 2479 . . . . . . . . 9
51 uneq2 3651 . . . . . . . . . . 11
52 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5352sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5453, 6elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . . . 15
5554simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14
5655ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13
57 undif 3908 . . . . . . . . . . . . 13
5856, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . 12
59 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6059sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6160, 6elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . . . 15
6261simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14
6362ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13
64 undif 3908 . . . . . . . . . . . . 13
6563, 64sylib 196 . . . . . . . . . . . 12
6658, 65eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . 11
6751, 66syl5ib 219 . . . . . . . . . 10
688sseli 3499 . . . . . . . . . . . 12
698sseli 3499 . . . . . . . . . . . 12
7068, 69anim12i 566 . . . . . . . . . . 11
71 f1fveq 6170 . . . . . . . . . . 11
7270, 71sylan2 474 . . . . . . . . . 10
7367, 72sylibd 214 . . . . . . . . 9
7450, 73sylbid 215 . . . . . . . 8
7574ralrimivva 2878 . . . . . . 7
76 dff13 6166 . . . . . . 7
7735, 75, 76sylanbrc 664 . . . . . 6
78 fin23lem.c . . . . . . . . 9
7978fin23lem22 8728 . . . . . . . 8
80 f1of1 5820 . . . . . . . 8
8179, 80syl 16 . . . . . . 7
828, 81mpan 670 . . . . . 6
83 f1co 5795 . . . . . 6
8477, 82, 83syl2an 477 . . . . 5
85 f1eq1 5781 . . . . 5
8684, 85syl5ibrcom 222 . . . 4
8786impr 619 . . 3
8827, 87jaodan 785 . 2
893, 88mpan2 671 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  succsuc 4885  rancrn 5005  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  iota_crio 6256  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700  seqomcseqom 7131   cmap 7439   cen 7533   cfn 7536
This theorem is referenced by:  fin23lem32  8745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341
  Copyright terms: Public domain W3C validator