Theorem fin23lem28 8741

Description: Lemma for fin23 8790. The residual is also one-to-one. This preserves the induction invariant. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fin23lem.a
fin23lem17.f
fin23lem.b
fin23lem.c
fin23lem.d
fin23lem.e

Assertion

Ref	Expression
fin23lem28

Distinct variable groups:   ,,,,,,,   ,,   ,,,,P   ,,,,   ,,,,,   ,   ,

Proof of Theorem fin23lem28

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin23lem.e	. . 3
2		eqif 3979	. . 3
3	1, 2	mpbi 208	. 2
4		difss 3630	. . . . . . . . 9
5		ominf 7752	. . . . . . . . . 10
6		fin23lem.b	. . . . . . . . . . . . . 14
7		ssrab2 3584	. . . . . . . . . . . . . 14
8	6, 7	eqsstri 3533	. . . . . . . . . . . . 13
9		undif 3908	. . . . . . . . . . . . 13
10	8, 9	mpbi 208	. . . . . . . . . . . 12
11		unfi 7807	. . . . . . . . . . . 12
12	10, 11	syl5eqelr 2550	. . . . . . . . . . 11
13	12	ex 434	. . . . . . . . . 10
14	5, 13	mtoi 178	. . . . . . . . 9
15		fin23lem.d	. . . . . . . . . 10
16	15	fin23lem22 8728	. . . . . . . . 9
17	4, 14, 16	sylancr 663	. . . . . . . 8
18	17	adantl 466	. . . . . . 7
19		f1of1 5820	. . . . . . 7
20		f1ss 5791	. . . . . . . 8
21	4, 20	mpan2 671	. . . . . . 7
22	18, 19, 21	3syl 20	. . . . . 6
23		f1co 5795	. . . . . 6
24	22, 23	syldan 470	. . . . 5
25		f1eq1 5781	. . . . 5
26	24, 25	syl5ibrcom 222	. . . 4
27	26	impr 619	. . 3
28		fvex 5881	. . . . . . . . . . 11
29		difexg 4600	. . . . . . . . . . 11
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
31	30	rgenw 2818	. . . . . . . . 9
32		eqid 2457	. . . . . . . . . 10
33	32	fmpt 6052	. . . . . . . . 9
34	31, 33	mpbi 208	. . . . . . . 8
35	34	a1i 11	. . . . . . 7
36		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . 13
37	36	difeq1d 3620	. . . . . . . . . . . 12
38		fvex 5881	. . . . . . . . . . . . 13
39		difexg 4600	. . . . . . . . . . . . 13
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
41	37, 32, 40	fvmpt 5956	. . . . . . . . . . 11
42	41	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10
43		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . 13
44	43	difeq1d 3620	. . . . . . . . . . . 12
45		fvex 5881	. . . . . . . . . . . . 13
46		difexg 4600	. . . . . . . . . . . . 13
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
48	44, 32, 47	fvmpt 5956	. . . . . . . . . . 11
49	48	ad2antll 728	. . . . . . . . . 10
50	42, 49	eqeq12d 2479	. . . . . . . . 9
51		uneq2 3651	. . . . . . . . . . 11
52		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
53	52	sseq2d 3531	. . . . . . . . . . . . . . . 16
54	53, 6	elrab2 3259	. . . . . . . . . . . . . . 15
55	54	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . 14
56	55	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . 13
57		undif 3908	. . . . . . . . . . . . 13
58	56, 57	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12
59		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
60	59	sseq2d 3531	. . . . . . . . . . . . . . . 16
61	60, 6	elrab2 3259	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	61	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . 14
63	62	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . 13
64		undif 3908	. . . . . . . . . . . . 13
65	63, 64	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12
66	58, 65	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . 11
67	51, 66	syl5ib 219	. . . . . . . . . 10
68	8	sseli 3499	. . . . . . . . . . . 12
69	8	sseli 3499	. . . . . . . . . . . 12
70	68, 69	anim12i 566	. . . . . . . . . . 11
71		f1fveq 6170	. . . . . . . . . . 11
72	70, 71	sylan2 474	. . . . . . . . . 10
73	67, 72	sylibd 214	. . . . . . . . 9
74	50, 73	sylbid 215	. . . . . . . 8
75	74	ralrimivva 2878	. . . . . . 7
76		dff13 6166	. . . . . . 7
77	35, 75, 76	sylanbrc 664	. . . . . 6
78		fin23lem.c	. . . . . . . . 9
79	78	fin23lem22 8728	. . . . . . . 8
80		f1of1 5820	. . . . . . . 8
81	79, 80	syl 16	. . . . . . 7
82	8, 81	mpan 670	. . . . . 6
83		f1co 5795	. . . . . 6
84	77, 82, 83	syl2an 477	. . . . 5
85		f1eq1 5781	. . . . 5
86	84, 85	syl5ibrcom 222	. . . 4
87	86	impr 619	. . 3
88	27, 87	jaodan 785	. 2
89	3, 88	mpan2 671	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  {crab 2811  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  succsuc 4885  rancrn 5005  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  iota_crio 6256  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  com 6700  seqomcseqom 7131  cmap 7439  cen 7533  cfn 7536

This theorem is referenced by:  fin23lem32  8745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341