Theorem fin23lem30 8743

Description: Lemma for fin23 8790. The residual is disjoint from the common set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fin23lem.a
fin23lem17.f
fin23lem.b
fin23lem.c
fin23lem.d
fin23lem.e

Assertion

Ref	Expression
fin23lem30

Distinct variable groups:   ,,,,,,,   ,,   ,,,,P   ,,,,   ,,,,,   ,   ,

Proof of Theorem fin23lem30

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin23lem.e	. 2
2		eqif 3979	. . 3
3	2	biimpi 194	. 2
4		simpr 461	. . . . . . . . . . 11
5		fin23lem.d	. . . . . . . . . . . 12
6	5	funmpt2 5630	. . . . . . . . . . 11
7		funco 5631	. . . . . . . . . . 11
8	4, 6, 7	sylancl 662	. . . . . . . . . 10
9		elunirn 6163	. . . . . . . . . 10
10	8, 9	syl 16	. . . . . . . . 9
11		dmcoss 5267	. . . . . . . . . . . 12
12	11	sseli 3499	. . . . . . . . . . 11
13		fvco 5949	. . . . . . . . . . . . . . . 16
14	6, 13	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . 15
15	14	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14
16	15	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . 13
17		incom 3690	. . . . . . . . . . . . . . . 16
18		difss 3630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
19		ominf 7752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
20		fin23lem.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
21		ssrab2 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
22	20, 21	eqsstri 3533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
23		undif 3908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
24	22, 23	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
25		unfi 7807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
26	24, 25	syl5eqelr 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
27	26	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
28	19, 27	mtoi 178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
29	28	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
30	5	fin23lem22 8728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
31	18, 29, 30	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
32		f1of 5821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
33	31, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
34		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
35		fdm 5740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
36	33, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
37	34, 36	eleqtrd 2547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
38	33, 37	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
39	38	eldifbd 3488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
40	20	eleq2i 2535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
41	39, 40	sylnib 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42	38	eldifad 3487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
43		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
44	43	sseq2d 3531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
45	44	elrab3 3258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
46	42, 45	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
47	41, 46	mtbid 300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
48		fin23lem.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
49	48	fin23lem20 8738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
50	42, 49	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
51		orel1 382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
52	47, 50, 51	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . 16
53	17, 52	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . . . . 15
54		disj 3867	. . . . . . . . . . . . . . 15
55	53, 54	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14
56		rsp 2823	. . . . . . . . . . . . . 14
57	55, 56	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
58	16, 57	sylbid 215	. . . . . . . . . . . 12
59	58	ex 434	. . . . . . . . . . 11
60	12, 59	syl5 32	. . . . . . . . . 10
61	60	rexlimdv 2947	. . . . . . . . 9
62	10, 61	sylbid 215	. . . . . . . 8
63	62	ralrimiv 2869	. . . . . . 7
64		disj 3867	. . . . . . 7
65	63, 64	sylibr 212	. . . . . 6
66		rneq 5233	. . . . . . . . 9
67	66	unieqd 4259	. . . . . . . 8
68	67	ineq1d 3698	. . . . . . 7
69	68	eqeq1d 2459	. . . . . 6
70	65, 69	syl5ibr 221	. . . . 5
71	70	expd 436	. . . 4
72	71	impcom 430	. . 3
73		rneq 5233	. . . . . . . 8
74	73	unieqd 4259	. . . . . . 7
75	74	ineq1d 3698	. . . . . 6
76		rncoss 5268	. . . . . . . 8
77	76	unissi 4272	. . . . . . 7
78		disj 3867	. . . . . . . 8
79		eluniab 4260	. . . . . . . . . 10
80		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . 14
81		eldifn 3626	. . . . . . . . . . . . . 14
82	80, 81	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . 13
83	82	rexlimivw 2946	. . . . . . . . . . . 12
84	83	impcom 430	. . . . . . . . . . 11
85	84	exlimiv 1722	. . . . . . . . . 10
86	79, 85	sylbi 195	. . . . . . . . 9
87		eqid 2457	. . . . . . . . . . 11
88	87	rnmpt 5253	. . . . . . . . . 10
89	88	unieqi 4258	. . . . . . . . 9
90	86, 89	eleq2s 2565	. . . . . . . 8
91	78, 90	mprgbir 2821	. . . . . . 7
92		ssdisj 3876	. . . . . . 7
93	77, 91, 92	mp2an 672	. . . . . 6
94	75, 93	syl6eq 2514	. . . . 5
95	94	a1d 25	. . . 4
96	95	adantl 466	. . 3
97	72, 96	jaoi 379	. 2
98	1, 3, 97	mp2b 10	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  o.ccom 5008  Funwfun 5587  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  iota_crio 6256  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  com 6700  seqomcseqom 7131  cmap 7439  cen 7533  cfn 7536

This theorem is referenced by:  fin23lem31  8744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341