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Theorem fin23lem30 8743
Description: Lemma for fin23 8790. The residual is disjoint from the common set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem.a
fin23lem17.f
fin23lem.b
fin23lem.c
fin23lem.d
fin23lem.e
Assertion
Ref Expression
fin23lem30
Distinct variable groups:   , , , , , , ,   , ,   , , , ,P   , , , ,   , , , , ,   ,   ,

Proof of Theorem fin23lem30
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem.e . 2
2 eqif 3979 . . 3
32biimpi 194 . 2
4 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
5 fin23lem.d . . . . . . . . . . . 12
65funmpt2 5630 . . . . . . . . . . 11
7 funco 5631 . . . . . . . . . . 11
84, 6, 7sylancl 662 . . . . . . . . . 10
9 elunirn 6163 . . . . . . . . . 10
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9
11 dmcoss 5267 . . . . . . . . . . . 12
1211sseli 3499 . . . . . . . . . . 11
13 fvco 5949 . . . . . . . . . . . . . . . 16
146, 13mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
1615eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . 13
17 incom 3690 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18 difss 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
19 ominf 7752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
20 fin23lem.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
21 ssrab2 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2220, 21eqsstri 3533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
23 undif 3908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2422, 23mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
25 unfi 7807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2624, 25syl5eqelr 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2726ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2819, 27mtoi 178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
305fin23lem22 8728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3118, 29, 30sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
32 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
34 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
35 fdm 5740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3633, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3734, 36eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3833, 37ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3938eldifbd 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4020eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4139, 40sylnib 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4238eldifad 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
43 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4443sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4544elrab3 3258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4642, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4741, 46mtbid 300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
48 fin23lem.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4948fin23lem20 8738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5042, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
51 orel1 382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5247, 50, 51sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5317, 52syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15
54 disj 3867 . . . . . . . . . . . . . . 15
5553, 54sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14
56 rsp 2823 . . . . . . . . . . . . . 14
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
5816, 57sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12
5958ex 434 . . . . . . . . . . 11
6012, 59syl5 32 . . . . . . . . . 10
6160rexlimdv 2947 . . . . . . . . 9
6210, 61sylbid 215 . . . . . . . 8
6362ralrimiv 2869 . . . . . . 7
64 disj 3867 . . . . . . 7
6563, 64sylibr 212 . . . . . 6
66 rneq 5233 . . . . . . . . 9
6766unieqd 4259 . . . . . . . 8
6867ineq1d 3698 . . . . . . 7
6968eqeq1d 2459 . . . . . 6
7065, 69syl5ibr 221 . . . . 5
7170expd 436 . . . 4
7271impcom 430 . . 3
73 rneq 5233 . . . . . . . 8
7473unieqd 4259 . . . . . . 7
7574ineq1d 3698 . . . . . 6
76 rncoss 5268 . . . . . . . 8
7776unissi 4272 . . . . . . 7
78 disj 3867 . . . . . . . 8
79 eluniab 4260 . . . . . . . . . 10
80 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . 14
81 eldifn 3626 . . . . . . . . . . . . . 14
8280, 81syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . 13
8382rexlimivw 2946 . . . . . . . . . . . 12
8483impcom 430 . . . . . . . . . . 11
8584exlimiv 1722 . . . . . . . . . 10
8679, 85sylbi 195 . . . . . . . . 9
87 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
8887rnmpt 5253 . . . . . . . . . 10
8988unieqi 4258 . . . . . . . . 9
9086, 89eleq2s 2565 . . . . . . . 8
9178, 90mprgbir 2821 . . . . . . 7
92 ssdisj 3876 . . . . . . 7
9377, 91, 92mp2an 672 . . . . . 6
9475, 93syl6eq 2514 . . . . 5
9594a1d 25 . . . 4
9695adantl 466 . . 3
9772, 96jaoi 379 . 2
981, 3, 97mp2b 10 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  o.ccom 5008  Funwfun 5587  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  iota_crio 6256  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700  seqomcseqom 7131   cmap 7439   cen 7533   cfn 7536
This theorem is referenced by:  fin23lem31  8744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341
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