Theorem fin23lem31 8744

Description: Lemma for fin23 8790. The residual is has a strictly smaller range than the previous sequence. This will be iterated to build an unbounded chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fin23lem.a
fin23lem17.f
fin23lem.b
fin23lem.c
fin23lem.d
fin23lem.e

Assertion

Ref	Expression
fin23lem31

Distinct variable groups:   ,,,,,,,   ,,   ,   ,,,,P   ,,,,   ,,,,,   ,   ,,,,

Proof of Theorem fin23lem31

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin23lem17.f	. . . 4
2	1	ssfin3ds 8731	. . 3
3		fin23lem.a	. . . . . 6
4		fin23lem.b	. . . . . 6
5		fin23lem.c	. . . . . 6
6		fin23lem.d	. . . . . 6
7		fin23lem.e	. . . . . 6
8	3, 1, 4, 5, 6, 7	fin23lem29 8742	. . . . 5
9	8	a1i 11	. . . 4
10	3, 1	fin23lem21 8740	. . . . . . 7
11	10	ancoms 453	. . . . . 6
12		n0 3794	. . . . . 6
13	11, 12	sylib 196	. . . . 5
14	3	fnseqom 7139	. . . . . . . . . . . . . 14
15		fndm 5685	. . . . . . . . . . . . . 14
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
17		peano1 6719	. . . . . . . . . . . . . 14
18	17	ne0ii 3791	. . . . . . . . . . . . 13
19	16, 18	eqnetri 2753	. . . . . . . . . . . 12
20		dm0rn0 5224	. . . . . . . . . . . . 13
21	20	necon3bii 2725	. . . . . . . . . . . 12
22	19, 21	mpbi 208	. . . . . . . . . . 11
23		intssuni 4309	. . . . . . . . . . 11
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
25	3	fin23lem16 8736	. . . . . . . . . 10
26	24, 25	sseqtri 3535	. . . . . . . . 9
27	26	sseli 3499	. . . . . . . 8
28	27	adantl 466	. . . . . . 7
29		f1fun 5788	. . . . . . . . . . . . 13
30	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
31	3, 1, 4, 5, 6, 7	fin23lem30 8743	. . . . . . . . . . . 12
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . 11
33		disj 3867	. . . . . . . . . . 11
34	32, 33	sylib 196	. . . . . . . . . 10
35		rsp 2823	. . . . . . . . . 10
36	34, 35	syl 16	. . . . . . . . 9
37	36	con2d 115	. . . . . . . 8
38	37	imp 429	. . . . . . 7
39		nelne1 2786	. . . . . . 7
40	28, 38, 39	syl2anc 661	. . . . . 6
41	40	necomd 2728	. . . . 5
42	13, 41	exlimddv 1726	. . . 4
43		df-pss 3491	. . . 4
44	9, 42, 43	sylanbrc 664	. . 3
45	2, 44	sylan2 474	. 2
46	45	3impb 1192	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  {crab 2811  cvv 3109  \cdif 3472  i^icin 3474  C_wss 3475  C.wpss 3476  c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  o.ccom 5008  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593  iota_crio 6256  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  com 6700  seqomcseqom 7131  cmap 7439  cen 7533  cfn 7536

This theorem is referenced by:  fin23lem32  8745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341