MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem32 Unicode version

Theorem fin23lem32 8745
Description: Lemma for fin23 8790. Wrap the previous construction into a function to hide the hypotheses. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem.a
fin23lem17.f
fin23lem.b
fin23lem.c
fin23lem.d
fin23lem.e
Assertion
Ref Expression
fin23lem32
Distinct variable groups:   , , , , , ,   , , , ,   , ,   , , , ,P,   , , , , ,   , , , , , ,   , , ,   , , , , , ,

Proof of Theorem fin23lem32
StepHypRef Expression
1 fin23lem.a . . . . . . . 8
2 fin23lem17.f . . . . . . . 8
3 fin23lem.b . . . . . . . 8
4 fin23lem.c . . . . . . . 8
5 fin23lem.d . . . . . . . 8
6 fin23lem.e . . . . . . . 8
71, 2, 3, 4, 5, 6fin23lem28 8741 . . . . . . 7
87ad2antrl 727 . . . . . 6
9 simprl 756 . . . . . . 7
10 simpl 457 . . . . . . 7
11 simprr 757 . . . . . . 7
121, 2, 3, 4, 5, 6fin23lem31 8744 . . . . . . 7
139, 10, 11, 12syl3anc 1228 . . . . . 6
14 f1fn 5787 . . . . . . . . . . . 12
15 dffn3 5743 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15sylib 196 . . . . . . . . . . 11
1716ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10
18 sspwuni 4416 . . . . . . . . . . . 12
1918biimpri 206 . . . . . . . . . . 11
2019ad2antll 728 . . . . . . . . . 10
2117, 20fssd 5745 . . . . . . . . 9
22 pwexg 4636 . . . . . . . . . . 11
2322adantr 465 . . . . . . . . . 10
24 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
25 f1f 5786 . . . . . . . . . . . 12
26 dmfex 6758 . . . . . . . . . . . 12
2724, 25, 26sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
2827ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10
2923, 28elmapd 7453 . . . . . . . . 9
3021, 29mpbird 232 . . . . . . . 8
31 f1f 5786 . . . . . . . . . 10
328, 31syl 16 . . . . . . . . 9
33 fex 6145 . . . . . . . . 9
3432, 28, 33syl2anc 661 . . . . . . . 8
35 eqid 2457 . . . . . . . . 9
3635fvmpt2 5963 . . . . . . . 8
3730, 34, 36syl2anc 661 . . . . . . 7
38 f1eq1 5781 . . . . . . . 8
39 rneq 5233 . . . . . . . . . 10
4039unieqd 4259 . . . . . . . . 9
4140psseq1d 3595 . . . . . . . 8
4238, 41anbi12d 710 . . . . . . 7
4337, 42syl 16 . . . . . 6
448, 13, 43mpbir2and 922 . . . . 5
4544ex 434 . . . 4
4645alrimiv 1719 . . 3
47 ovex 6324 . . . . 5
4847mptex 6143 . . . 4
49 nfmpt1 4541 . . . . . 6
5049nfeq2 2636 . . . . 5
51 fveq1 5870 . . . . . . . 8
52 f1eq1 5781 . . . . . . . 8
5351, 52syl 16 . . . . . . 7
5451rneqd 5235 . . . . . . . . 9
5554unieqd 4259 . . . . . . . 8
5655psseq1d 3595 . . . . . . 7
5753, 56anbi12d 710 . . . . . 6
5857imbi2d 316 . . . . 5
5950, 58albid 1885 . . . 4
6048, 59spcev 3201 . . 3
6146, 60syl 16 . 2
62 f1eq1 5781 . . . . . 6
63 rneq 5233 . . . . . . . 8
6463unieqd 4259 . . . . . . 7
6564sseq1d 3530 . . . . . 6
6662, 65anbi12d 710 . . . . 5
67 fveq2 5871 . . . . . . 7
68 f1eq1 5781 . . . . . . 7
6967, 68syl 16 . . . . . 6
7067rneqd 5235 . . . . . . . 8
7170unieqd 4259 . . . . . . 7
7271, 64psseq12d 3597 . . . . . 6
7369, 72anbi12d 710 . . . . 5
7466, 73imbi12d 320 . . . 4
7574cbvalv 2023 . . 3
7675exbii 1667 . 2
7761, 76sylibr 212 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472  i^icin 3474  C_wss 3475  C.wpss 3476   c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  succsuc 4885  rancrn 5005  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593  iota_crio 6256  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700  seqomcseqom 7131   cmap 7439   cen 7533   cfn 7536
This theorem is referenced by:  fin23lem33  8746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341
  Copyright terms: Public domain W3C validator