MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem34 Unicode version

Theorem fin23lem34 8747
Description: Lemma for fin23 8790. Establish induction invariants on which parameterizes our contradictory chain of subsets. In this section, is the hypothetically assumed family of subsets, is the ground set, and is the induction function constructed in the previous section. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f
fin23lem.f
fin23lem.g
fin23lem.h
fin23lem.i
Assertion
Ref Expression
fin23lem34
Distinct variable groups:   , , , ,   , ,   , , , , , ,   ,   , ,   , ,

Proof of Theorem fin23lem34
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5871 . . . . . 6
2 f1eq1 5781 . . . . . 6
31, 2syl 16 . . . . 5
41rneqd 5235 . . . . . . 7
54unieqd 4259 . . . . . 6
65sseq1d 3530 . . . . 5
73, 6anbi12d 710 . . . 4
87imbi2d 316 . . 3
9 fveq2 5871 . . . . . 6
10 f1eq1 5781 . . . . . 6
119, 10syl 16 . . . . 5
129rneqd 5235 . . . . . . 7
1312unieqd 4259 . . . . . 6
1413sseq1d 3530 . . . . 5
1511, 14anbi12d 710 . . . 4
1615imbi2d 316 . . 3
17 fveq2 5871 . . . . . 6
18 f1eq1 5781 . . . . . 6
1917, 18syl 16 . . . . 5
2017rneqd 5235 . . . . . . 7
2120unieqd 4259 . . . . . 6
2221sseq1d 3530 . . . . 5
2319, 22anbi12d 710 . . . 4
2423imbi2d 316 . . 3
25 fveq2 5871 . . . . . 6
26 f1eq1 5781 . . . . . 6
2725, 26syl 16 . . . . 5
2825rneqd 5235 . . . . . . 7
2928unieqd 4259 . . . . . 6
3029sseq1d 3530 . . . . 5
3127, 30anbi12d 710 . . . 4
3231imbi2d 316 . . 3
33 fin23lem.f . . . 4
34 fin23lem.g . . . 4
35 fin23lem.i . . . . . . . 8
3635fveq1i 5872 . . . . . . 7
37 vex 3112 . . . . . . . 8
38 fr0g 7120 . . . . . . . 8
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . 7
4036, 39eqtri 2486 . . . . . 6
41 f1eq1 5781 . . . . . 6
4240, 41ax-mp 5 . . . . 5
4340rneqi 5234 . . . . . . 7
4443unieqi 4258 . . . . . 6
4544sseq1i 3527 . . . . 5
4642, 45anbi12i 697 . . . 4
4733, 34, 46sylanbrc 664 . . 3
48 fin23lem.h . . . . . . . . . 10
49 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
50 f1eq1 5781 . . . . . . . . . . . . 13
51 rneq 5233 . . . . . . . . . . . . . . 15
5251unieqd 4259 . . . . . . . . . . . . . 14
5352sseq1d 3530 . . . . . . . . . . . . 13
5450, 53anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12
55 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
56 f1eq1 5781 . . . . . . . . . . . . . 14
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
5855rneqd 5235 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958unieqd 4259 . . . . . . . . . . . . . 14
6059, 52psseq12d 3597 . . . . . . . . . . . . 13
6157, 60anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12
6254, 61imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11
6349, 62spcv 3200 . . . . . . . . . 10
6448, 63syl 16 . . . . . . . . 9
6564imp 429 . . . . . . . 8
66 pssss 3598 . . . . . . . . . . . 12
67 sstr 3511 . . . . . . . . . . . 12
6866, 67sylan 471 . . . . . . . . . . 11
6968expcom 435 . . . . . . . . . 10
7069anim2d 565 . . . . . . . . 9
7170ad2antll 728 . . . . . . . 8
7265, 71mpd 15 . . . . . . 7
73723adant1 1014 . . . . . 6
74 frsuc 7121 . . . . . . . . 9
7535fveq1i 5872 . . . . . . . . 9
7635fveq1i 5872 . . . . . . . . . 10
7776fveq2i 5874 . . . . . . . . 9
7874, 75, 773eqtr4g 2523 . . . . . . . 8
79 f1eq1 5781 . . . . . . . . 9
80 rneq 5233 . . . . . . . . . . 11
8180unieqd 4259 . . . . . . . . . 10
8281sseq1d 3530 . . . . . . . . 9
8379, 82anbi12d 710 . . . . . . . 8
8478, 83syl 16 . . . . . . 7
85843ad2ant1 1017 . . . . . 6
8673, 85mpbird 232 . . . . 5
87863exp 1195 . . . 4
8887a2d 26 . . 3
898, 16, 24, 32, 47, 88finds 6726 . 2
9089impcom 430 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475  C.wpss 3476   c0 3784  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  |^|cint 4286  succsuc 4885  rancrn 5005  |`cres 5006  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700  reccrdg 7094   cmap 7439
This theorem is referenced by:  fin23lem35  8748  fin23lem39  8751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095
  Copyright terms: Public domain W3C validator