MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem38 Unicode version

Theorem fin23lem38 8750
Description: Lemma for fin23 8790. The contradictory chain has no minimum. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f
fin23lem.f
fin23lem.g
fin23lem.h
fin23lem.i
Assertion
Ref Expression
fin23lem38
Distinct variable groups:   , , , , , , ,   ,   , , ,   , , ,

Proof of Theorem fin23lem38
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2 6720 . . . . . . . 8
2 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
3 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
43rneqd 5235 . . . . . . . . . . . . 13
54unieqd 4259 . . . . . . . . . . . 12
65eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11
76rspcev 3210 . . . . . . . . . 10
82, 7mpan2 671 . . . . . . . . 9
9 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
109rnex 6734 . . . . . . . . . . 11
1110uniex 6596 . . . . . . . . . 10
12 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
1312elrnmpt 5254 . . . . . . . . . 10
1411, 13ax-mp 5 . . . . . . . . 9
158, 14sylibr 212 . . . . . . . 8
161, 15syl 16 . . . . . . 7
1716adantl 466 . . . . . 6
18 intss1 4301 . . . . . 6
1917, 18syl 16 . . . . 5
20 fin23lem33.f . . . . . 6
21 fin23lem.f . . . . . 6
22 fin23lem.g . . . . . 6
23 fin23lem.h . . . . . 6
24 fin23lem.i . . . . . 6
2520, 21, 22, 23, 24fin23lem35 8748 . . . . 5
2619, 25sspsstrd 3611 . . . 4
27 dfpss2 3588 . . . . 5
2827simprbi 464 . . . 4
2926, 28syl 16 . . 3
3029nrexdv 2913 . 2
31 fveq2 5871 . . . . . . 7
3231rneqd 5235 . . . . . 6
3332unieqd 4259 . . . . 5
3433cbvmptv 4543 . . . 4
3534elrnmpt 5254 . . 3
3635ibi 241 . 2
3730, 36nsyl 121 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475  C.wpss 3476  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  |^|cint 4286  e.cmpt 4510  succsuc 4885  rancrn 5005  |`cres 5006  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700  reccrdg 7094   cmap 7439
This theorem is referenced by:  fin23lem39  8751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095
  Copyright terms: Public domain W3C validator