MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem39 Unicode version

Theorem fin23lem39 8751
Description: Lemma for fin23 8790. Thus, we have that could not have been in after all. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f
fin23lem.f
fin23lem.g
fin23lem.h
fin23lem.i
Assertion
Ref Expression
fin23lem39
Distinct variable groups:   , , , , , ,   ,   , ,   , ,

Proof of Theorem fin23lem39
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem33.f . . 3
2 fin23lem.f . . 3
3 fin23lem.g . . 3
4 fin23lem.h . . 3
5 fin23lem.i . . 3
61, 2, 3, 4, 5fin23lem38 8750 . 2
71, 2, 3, 4, 5fin23lem34 8747 . . . . . . . 8
87simprd 463 . . . . . . 7
98adantlr 714 . . . . . 6
10 elpw2g 4615 . . . . . . 7
1110ad2antlr 726 . . . . . 6
129, 11mpbird 232 . . . . 5
13 eqid 2457 . . . . 5
1412, 13fmptd 6055 . . . 4
15 pwexg 4636 . . . . 5
16 vex 3112 . . . . . . 7
17 f1f 5786 . . . . . . 7
18 dmfex 6758 . . . . . . 7
1916, 17, 18sylancr 663 . . . . . 6
202, 19syl 16 . . . . 5
21 elmapg 7452 . . . . 5
2215, 20, 21syl2anr 478 . . . 4
2314, 22mpbird 232 . . 3
241isfin3ds 8730 . . . . 5
2524ibi 241 . . . 4
2625adantl 466 . . 3
271, 2, 3, 4, 5fin23lem35 8748 . . . . . . 7
2827pssssd 3600 . . . . . 6
29 peano2 6720 . . . . . . . . 9
30 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
3130rneqd 5235 . . . . . . . . . . 11
3231unieqd 4259 . . . . . . . . . 10
33 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
3433rnex 6734 . . . . . . . . . . 11
3534uniex 6596 . . . . . . . . . 10
3632, 13, 35fvmpt 5956 . . . . . . . . 9
3729, 36syl 16 . . . . . . . 8
38 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
3938rneqd 5235 . . . . . . . . . 10
4039unieqd 4259 . . . . . . . . 9
41 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
4241rnex 6734 . . . . . . . . . 10
4342uniex 6596 . . . . . . . . 9
4440, 13, 43fvmpt 5956 . . . . . . . 8
4537, 44sseq12d 3532 . . . . . . 7
4645adantl 466 . . . . . 6
4728, 46mpbird 232 . . . . 5
4847ralrimiva 2871 . . . 4
4948adantr 465 . . 3
50 fveq1 5870 . . . . . . 7
51 fveq1 5870 . . . . . . 7
5250, 51sseq12d 3532 . . . . . 6
5352ralbidv 2896 . . . . 5
54 rneq 5233 . . . . . . 7
5554inteqd 4291 . . . . . 6
5655, 54eleq12d 2539 . . . . 5
5753, 56imbi12d 320 . . . 4
5857rspcv 3206 . . 3
5923, 26, 49, 58syl3c 61 . 2
606, 59mtand 659 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475  C.wpss 3476  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  |^|cint 4286  e.cmpt 4510  succsuc 4885  rancrn 5005  |`cres 5006  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700  reccrdg 7094   cmap 7439
This theorem is referenced by:  fin23lem41  8753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-map 7441
  Copyright terms: Public domain W3C validator