MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem40 Unicode version

Theorem fin23lem40 8752
Description: Lemma for fin23 8790. sets satisfy the descending chain condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem40.f
Assertion
Ref Expression
fin23lem40
Distinct variable groups:   , , ,   ,

Proof of Theorem fin23lem40
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7460 . . . 4
2 simpl 457 . . . . . 6
3 frn 5742 . . . . . . 7
43ad2antrl 727 . . . . . 6
5 fdm 5740 . . . . . . . . 9
6 peano1 6719 . . . . . . . . . 10
7 ne0i 3790 . . . . . . . . . 10
86, 7mp1i 12 . . . . . . . . 9
95, 8eqnetrd 2750 . . . . . . . 8
10 dm0rn0 5224 . . . . . . . . 9
1110necon3bii 2725 . . . . . . . 8
129, 11sylib 196 . . . . . . 7
1312ad2antrl 727 . . . . . 6
14 ffn 5736 . . . . . . . . 9
1514ad2antrl 727 . . . . . . . 8
16 sspss 3602 . . . . . . . . . . 11
17 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
18 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
1917, 18brcnv 5190 . . . . . . . . . . . . . 14
2017brrpss 6583 . . . . . . . . . . . . . 14
2119, 20bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13
22 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . 13
2321, 22orbi12i 521 . . . . . . . . . . . 12
2423biimpri 206 . . . . . . . . . . 11
2516, 24sylbi 195 . . . . . . . . . 10
2625ralimi 2850 . . . . . . . . 9
2726ad2antll 728 . . . . . . . 8
28 porpss 6584 . . . . . . . . . 10
29 cnvpo 5550 . . . . . . . . . 10
3028, 29mpbi 208 . . . . . . . . 9
3130a1i 11 . . . . . . . 8
32 sornom 8678 . . . . . . . 8
3315, 27, 31, 32syl3anc 1228 . . . . . . 7
34 cnvso 5551 . . . . . . 7
3533, 34sylibr 212 . . . . . 6
36 fin2i2 8719 . . . . . 6
372, 4, 13, 35, 36syl22anc 1229 . . . . 5
3837expr 615 . . . 4
391, 38sylan2 474 . . 3
4039ralrimiva 2871 . 2
41 fin23lem40.f . . 3
4241isfin3ds 8730 . 2
4340, 42mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  C_wss 3475  C.wpss 3476   c0 3784  ~Pcpw 4012  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  Powpo 4803  Orwor 4804  succsuc 4885  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   crpss 6579   com 6700   cmap 7439   cfin2 8680
This theorem is referenced by:  fin23  8790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-rpss 6580  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-map 7441  df-fin2 8687
  Copyright terms: Public domain W3C validator