MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem41 Unicode version

Theorem fin23lem41 8753
Description: Lemma for fin23 8790. A set which satisfies the descending sequence condition must be III-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem40.f
Assertion
Ref Expression
fin23lem41
Distinct variable groups:   , , ,   ,

Proof of Theorem fin23lem41
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7547 . . . . 5
2 fin23lem40.f . . . . . . . . . 10
32fin23lem33 8746 . . . . . . . . 9
43adantl 466 . . . . . . . 8
5 ssv 3523 . . . . . . . . . . 11
6 f1ss 5791 . . . . . . . . . . 11
75, 6mpan2 671 . . . . . . . . . 10
87ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
9 f1f 5786 . . . . . . . . . . . 12
10 frn 5742 . . . . . . . . . . . 12
11 uniss 4270 . . . . . . . . . . . 12
129, 10, 113syl 20 . . . . . . . . . . 11
13 unipw 4702 . . . . . . . . . . 11
1412, 13syl6sseq 3549 . . . . . . . . . 10
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
16 f1eq1 5781 . . . . . . . . . . . . . 14
17 rneq 5233 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1817unieqd 4259 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918sseq1d 3530 . . . . . . . . . . . . . 14
2016, 19anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13
21 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 f1eq1 5781 . . . . . . . . . . . . . . 15
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
2421rneqd 5235 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2524unieqd 4259 . . . . . . . . . . . . . . 15
2625, 18psseq12d 3597 . . . . . . . . . . . . . 14
2723, 26anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13
2820, 27imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12
2928cbvalv 2023 . . . . . . . . . . 11
3029biimpi 194 . . . . . . . . . 10
3130adantl 466 . . . . . . . . 9
32 eqid 2457 . . . . . . . . 9
332, 8, 15, 31, 32fin23lem39 8751 . . . . . . . 8
344, 33exlimddv 1726 . . . . . . 7
3534pm2.01da 442 . . . . . 6
3635exlimiv 1722 . . . . 5
371, 36syl 16 . . . 4
3837con2i 120 . . 3
39 pwexg 4636 . . . 4
40 isfin4-2 8715 . . . 4
4139, 40syl 16 . . 3
4238, 41mpbird 232 . 2
43 isfin3 8697 . 2
4442, 43sylibr 212 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475  C.wpss 3476  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  succsuc 4885  rancrn 5005  |`cres 5006  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700  reccrdg 7094   cmap 7439   cdom 7534   cfin4 8681   cfin3 8682
This theorem is referenced by:  isf33lem  8767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-fin4 8688  df-fin3 8689
  Copyright terms: Public domain W3C validator