Theorem fin2i2 8719

Description: A II-finite set contains minimal elements for every nonempty chain. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin2i2

Proof of Theorem fin2i2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 755	. . 3
2		simpll 753	. . . . 5
3		ssrab2 3584	. . . . . 6
4	3	a1i 11	. . . . 5
5		simprl 756	. . . . . 6
6		fin23lem7 8717	. . . . . 6
7	2, 1, 5, 6	syl3anc 1228	. . . . 5
8		sorpsscmpl 6591	. . . . . 6
9	8	ad2antll 728	. . . . 5
10		fin2i 8696	. . . . 5
11	2, 4, 7, 9, 10	syl22anc 1229	. . . 4
12		sorpssuni 6589	. . . . 5
13	9, 12	syl 16	. . . 4
14	11, 13	mpbird 232	. . 3
15		psseq2 3591	. . . 4
16		psseq2 3591	. . . 4
17		pssdifcom2 3914	. . . 4
18	15, 16, 17	fin23lem11 8718	. . 3
19	1, 14, 18	sylc 60	. 2
20		sorpssint 6590	. . 3
21	20	ad2antll 728	. 2
22	19, 21	mpbid 210	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  \cdif 3472  C_wss 3475  C.wpss 3476  c0 3784  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  |^|cint 4286  Orwor 4804  crpss 6579  cfin2 8680

This theorem is referenced by:  isfin2-2  8720  fin23lem40  8752  fin2so  30040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-rpss 6580  df-fin2 8687