MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin45 Unicode version

Theorem fin45 8793
Description: Every IV-finite set is V-finite: if we can pack two copies of the set into itself, we can certainly leave space. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin45

Proof of Theorem fin45
StepHypRef Expression
1 isfin4-3 8716 . . 3
2 simpl 457 . . . . . . . . 9
3 relen 7541 . . . . . . . . . . . 12
43brrelexi 5045 . . . . . . . . . . 11
54adantl 466 . . . . . . . . . 10
6 0sdomg 7666 . . . . . . . . . 10
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9
82, 7mpbird 232 . . . . . . . 8
9 0sdom1dom 7737 . . . . . . . 8
108, 9sylib 196 . . . . . . 7
11 cdadom2 8588 . . . . . . 7
1210, 11syl 16 . . . . . 6
13 domen2 7680 . . . . . . 7
1413adantl 466 . . . . . 6
1512, 14mpbird 232 . . . . 5
16 domnsym 7663 . . . . 5
1715, 16syl 16 . . . 4
1817con2i 120 . . 3
191, 18sylbi 195 . 2
20 isfin5-2 8792 . 2
2119, 20mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109   c0 3784   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   c1o 7142   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   ccda 8568   cfin4 8681   cfin5 8683
This theorem is referenced by:  fin2so  30040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-cda 8569  df-fin4 8688  df-fin5 8690
  Copyright terms: Public domain W3C validator