Theorem fin4en1 8710

Description: Dedekind finite is a cardinal property. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin4en1

Proof of Theorem fin4en1

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 7584	. 2
2		bren 7545	. . . 4
3		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12
4		f1of1 5820	. . . . . . . . . . . . 13
5		pssss 3598	. . . . . . . . . . . . . 14
6		ssid 3522	. . . . . . . . . . . . . 14
7	5, 6	jctir 538	. . . . . . . . . . . . 13
8		f1imapss 6174	. . . . . . . . . . . . 13
9	4, 7, 8	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12
10	3, 9	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11
11		imadmrn 5352	. . . . . . . . . . . . . 14
12		f1odm 5825	. . . . . . . . . . . . . . 15
13	12	imaeq2d 5342	. . . . . . . . . . . . . 14
14		dff1o5 5830	. . . . . . . . . . . . . . 15
15	14	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . 14
16	11, 13, 15	3eqtr3a 2522	. . . . . . . . . . . . 13
17	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
18	17	psseq2d 3596	. . . . . . . . . . 11
19	10, 18	mpbid 210	. . . . . . . . . 10
20	19	adantrr 716	. . . . . . . . 9
21		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . 14
22	21	f1imaen 7597	. . . . . . . . . . . . 13
23	4, 5, 22	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12
24	23	adantrr 716	. . . . . . . . . . 11
25		simprr 757	. . . . . . . . . . 11
26		entr 7587	. . . . . . . . . . 11
27	24, 25, 26	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
28		vex 3112	. . . . . . . . . . . 12
29		f1oen3g 7551	. . . . . . . . . . . 12
30	28, 29	mpan 670	. . . . . . . . . . 11
31	30	adantr 465	. . . . . . . . . 10
32		entr 7587	. . . . . . . . . 10
33	27, 31, 32	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
34		fin4i 8699	. . . . . . . . 9
35	20, 33, 34	syl2anc 661	. . . . . . . 8
36	35	ex 434	. . . . . . 7
37	36	exlimdv 1724	. . . . . 6
38	37	con2d 115	. . . . 5
39	38	exlimiv 1722	. . . 4
40	2, 39	sylbi 195	. . 3
41		relen 7541	. . . . 5
42	41	brrelexi 5045	. . . 4
43		isfin4 8698	. . . 4
44	42, 43	syl 16	. . 3
45	40, 44	sylibrd 234	. 2
46	1, 45	syl 16	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  cvv 3109  C_wss 3475  C.wpss 3476   class class class wbr 4452  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  cen 7533  cfin4 8681

This theorem is referenced by:  domfin4  8712  isfin4-3  8716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-fin4 8688