MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin67 Unicode version

Theorem fin67 8796
Description: Every VI-finite set is VII-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin67

Proof of Theorem fin67
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfin6 8701 . 2
2 2onn 7308 . . . . . 6
3 ssid 3522 . . . . . 6
4 ssnnfi 7759 . . . . . 6
52, 3, 4mp2an 672 . . . . 5
6 sdomdom 7563 . . . . 5
7 domfi 7761 . . . . 5
85, 6, 7sylancr 663 . . . 4
9 fin17 8795 . . . 4
108, 9syl 16 . . 3
11 sdomnen 7564 . . . . 5
12 eldifi 3625 . . . . . . . . 9
13 ensym 7584 . . . . . . . . 9
14 isnumi 8348 . . . . . . . . 9
1512, 13, 14syl2an 477 . . . . . . . 8
16 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
17 eldif 3485 . . . . . . . . . . . 12
18 ordom 6709 . . . . . . . . . . . . . 14
19 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . . 14
20 ordtri1 4916 . . . . . . . . . . . . . 14
2118, 19, 20sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
2221biimpar 485 . . . . . . . . . . . 12
2317, 22sylbi 195 . . . . . . . . . . 11
24 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . 11
2516, 23, 24mpsyl 63 . . . . . . . . . 10
26 domen2 7680 . . . . . . . . . 10
2725, 26syl5ibr 221 . . . . . . . . 9
2827impcom 430 . . . . . . . 8
29 infxpidm2 8415 . . . . . . . 8
3015, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . 7
31 ensym 7584 . . . . . . 7
3230, 31syl 16 . . . . . 6
3332rexlimiva 2945 . . . . 5
3411, 33nsyl 121 . . . 4
35 relsdom 7543 . . . . . 6
3635brrelexi 5045 . . . . 5
37 isfin7 8702 . . . . 5
3836, 37syl 16 . . . 4
3934, 38mpbird 232 . . 3
4010, 39jaoi 379 . 2
411, 40sylbi 195 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  e.wcel 1818  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   class class class wbr 4452  Ordword 4882   con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004   com 6700   c2o 7143   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   cfn 7536   ccrd 8337   cfin6 8684   cfin7 8685
This theorem is referenced by:  fin2so  30040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-card 8341  df-fin6 8691  df-fin7 8692
  Copyright terms: Public domain W3C validator