Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  findcard Unicode version

Theorem findcard 7779
 Description: Schema for induction on the cardinality of a finite set. The inductive hypothesis is that the result is true on the given set with any one element removed. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard.1
findcard.2
findcard.3
findcard.4
findcard.5
findcard.6
Assertion
Ref Expression
findcard
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,   ,   ,   ,,

Proof of Theorem findcard
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 findcard.4 . 2
2 isfi 7559 . . 3
3 breq2 4456 . . . . . . . 8
43imbi1d 317 . . . . . . 7
54albidv 1713 . . . . . 6
6 breq2 4456 . . . . . . . 8
76imbi1d 317 . . . . . . 7
87albidv 1713 . . . . . 6
9 breq2 4456 . . . . . . . 8
109imbi1d 317 . . . . . . 7
1110albidv 1713 . . . . . 6
12 en0 7598 . . . . . . . 8
13 findcard.5 . . . . . . . . 9
14 findcard.1 . . . . . . . . 9
1513, 14mpbiri 233 . . . . . . . 8
1612, 15sylbi 195 . . . . . . 7
1716ax-gen 1618 . . . . . 6
18 peano2 6720 . . . . . . . . . . . . 13
19 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . 14
2019rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . 13
2118, 20sylan 471 . . . . . . . . . . . 12
22 isfi 7559 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22sylibr 212 . . . . . . . . . . 11
24233adant2 1015 . . . . . . . . . 10
25 dif1en 7773 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26253expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . 15
27 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
28 difexg 4600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
31 findcard.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3230, 31imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3329, 32spcv 3200 . . . . . . . . . . . . . . 15
3426, 33syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . 14
3534ralrimdva 2875 . . . . . . . . . . . . 13
3635imp 429 . . . . . . . . . . . 12
3736an32s 804 . . . . . . . . . . 11
38373impa 1191 . . . . . . . . . 10
39 findcard.6 . . . . . . . . . 10
4024, 38, 39sylc 60 . . . . . . . . 9
41403exp 1195 . . . . . . . 8
4241alrimdv 1721 . . . . . . 7
43 breq1 4455 . . . . . . . . 9
44 findcard.3 . . . . . . . . 9
4543, 44imbi12d 320 . . . . . . . 8
4645cbvalv 2023 . . . . . . 7
4742, 46syl6ibr 227 . . . . . 6
485, 8, 11, 17, 47finds1 6729 . . . . 5
494819.21bi 1869 . . . 4
5049rexlimiv 2943 . . 3
512, 50sylbi 195 . 2
521, 51vtoclga 3173 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  succsuc 4885   com 6700   cen 7533   cfn 7536 This theorem is referenced by:  xpfi  7811 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540
 Copyright terms: Public domain W3C validator