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Theorem findcard2 7397
Description: Schema for induction on the cardinality of a finite set. The inductive step shows that the result is true if one more element is added to the set. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jul-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2.1
findcard2.2
findcard2.3
findcard2.4
findcard2.5
findcard2.6
Assertion
Ref Expression
findcard2
Distinct variable groups:   , , ,   ,   ,   ,   ,   , ,
Allowed substitution hints:   ( )   ( , )   ( , )   ( , )   ( , )

Proof of Theorem findcard2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 findcard2.4 . 2
2 isfi 7180 . . 3
3 breq2 4247 . . . . . . . 8
43imbi1d 310 . . . . . . 7
54albidv 1637 . . . . . 6
6 breq2 4247 . . . . . . . 8
76imbi1d 310 . . . . . . 7
87albidv 1637 . . . . . 6
9 breq2 4247 . . . . . . . 8
109imbi1d 310 . . . . . . 7
1110albidv 1637 . . . . . 6
12 en0 7219 . . . . . . . 8
13 findcard2.5 . . . . . . . . 9
14 findcard2.1 . . . . . . . . 9
1513, 14mpbiri 226 . . . . . . . 8
1612, 15sylbi 189 . . . . . . 7
1716ax-gen 1556 . . . . . 6
18 nsuceq0 4702 . . . . . . . . . . . 12
19 breq1 4246 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2019anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 peano1 4905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22 peano2 4906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
23 nneneq 7339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2421, 22, 23sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2524biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2625eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15
2720, 26syl6bi 221 . . . . . . . . . . . . . 14
2827com12 30 . . . . . . . . . . . . 13
2928necon3d 2646 . . . . . . . . . . . 12
3018, 29mpi 17 . . . . . . . . . . 11
3130ex 425 . . . . . . . . . 10
32 n0 3625 . . . . . . . . . . . 12
33 dif1en 7390 . . . . . . . . . . . . . . 15
34333expia 1156 . . . . . . . . . . . . . 14
35 snssi 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
36 uncom 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37 undif 3734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3837biimpi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3936, 38syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
40 vex 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
41 difexg 4390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
43 breq1 4246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4443anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
45 uneq1 3483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
46 dfsbcq 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4847imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4944, 48imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
50 breq1 4246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
51 findcard2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5250, 51imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5352spv 1969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
54 rspe 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
55 isfi 7180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5654, 55sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
57 pm2.27 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5857adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
59 findcard2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6056, 58, 59sylsyld 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6153, 60syl5 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
62 vex 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
63 snex 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6462, 63unex 4748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
65 findcard2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6664, 65sbcie 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6761, 66syl6ibr 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6842, 49, 67vtocl 3015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
69 dfsbcq 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7069imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7168, 70syl5ib 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7235, 39, 713syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7372exp3a 427 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7473com12 30 . . . . . . . . . . . . . . 15
7574adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
7634, 75mpdd 39 . . . . . . . . . . . . 13
7776exlimdv 1648 . . . . . . . . . . . 12
7832, 77syl5bi 210 . . . . . . . . . . 11
7978ex 425 . . . . . . . . . 10
8031, 79mpdd 39 . . . . . . . . 9
8180com23 75 . . . . . . . 8
8281alrimdv 1645 . . . . . . 7
83 nfv 1631 . . . . . . . 8
84 nfv 1631 . . . . . . . . 9
85 nfsbc1v 3189 . . . . . . . . 9
8684, 85nfim 1835 . . . . . . . 8
87 breq1 4246 . . . . . . . . 9
88 sbceq1a 3180 . . . . . . . . 9
8987, 88imbi12d 313 . . . . . . . 8
9083, 86, 89cbval 1986 . . . . . . 7
9182, 90syl6ibr 220 . . . . . 6
925, 8, 11, 17, 91finds1 4915 . . . . 5
939219.21bi 1777 . . . 4
9493rexlimiv 2831 . . 3
952, 94sylbi 189 . 2
961, 95vtoclga 3026 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  A.wal 1550  E.wex 1551  =wceq 1654  e.wcel 1728  =/=wne 2606  E.wrex 2713   cvv 2965  [.wsbc 3170  \cdif 3306  u.cun 3307  C_wss 3309   c0 3616  {csn 3841   class class class wbr 4243  succsuc 4624   com 4886   cen 7155   cfn 7158
This theorem is referenced by:  findcard2s  7398  frfi  7401  fnfi  7433  iunfi  7443  finsschain  7462  infdiffi  7661  fin1a2lem10  8340  wunfi  8647  rexfiuz  12202  drsdirfi  14446  fiuncmp  17518  finiunmbl  19489  mbfresfi  26362  heibor1lem  26629  pclfinclN  30987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-br 4244  df-opab 4302  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-lim 4627  df-suc 4628  df-om 4887  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-1o 6773  df-er 6954  df-en 7159  df-fin 7162
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