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Theorem findcard2 7780
Description: Schema for induction on the cardinality of a finite set. The inductive step shows that the result is true if one more element is added to the set. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jul-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2.1
findcard2.2
findcard2.3
findcard2.4
findcard2.5
findcard2.6
Assertion
Ref Expression
findcard2
Distinct variable groups:   , , ,   ,   ,   ,   ,   , ,

Proof of Theorem findcard2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 findcard2.4 . 2
2 isfi 7559 . . 3
3 breq2 4456 . . . . . . . 8
43imbi1d 317 . . . . . . 7
54albidv 1713 . . . . . 6
6 breq2 4456 . . . . . . . 8
76imbi1d 317 . . . . . . 7
87albidv 1713 . . . . . 6
9 breq2 4456 . . . . . . . 8
109imbi1d 317 . . . . . . 7
1110albidv 1713 . . . . . 6
12 en0 7598 . . . . . . . 8
13 findcard2.5 . . . . . . . . 9
14 findcard2.1 . . . . . . . . 9
1513, 14mpbiri 233 . . . . . . . 8
1612, 15sylbi 195 . . . . . . 7
1716ax-gen 1618 . . . . . 6
18 nsuceq0 4963 . . . . . . . . . . . 12
19 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2019anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 peano1 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22 peano2 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
23 nneneq 7720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2421, 22, 23sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2524biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2625eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15
2720, 26syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14
2827com12 31 . . . . . . . . . . . . 13
2928necon3d 2681 . . . . . . . . . . . 12
3018, 29mpi 17 . . . . . . . . . . 11
3130ex 434 . . . . . . . . . 10
32 n0 3794 . . . . . . . . . . . 12
33 dif1en 7773 . . . . . . . . . . . . . . 15
34333expia 1198 . . . . . . . . . . . . . 14
35 snssi 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
36 uncom 3647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37 undif 3908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3837biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3936, 38syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
40 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
41 difexg 4600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
43 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4443anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
45 uneq1 3650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4645sbceq1d 3332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4746imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4844, 47imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
49 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
50 findcard2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5149, 50imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5251spv 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
53 rspe 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
54 isfi 7559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5553, 54sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
56 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5756adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
58 findcard2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5955, 57, 58sylsyld 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6052, 59syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
61 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
62 snex 4693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6361, 62unex 6598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
64 findcard2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6563, 64sbcie 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6660, 65syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6742, 48, 66vtocl 3161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
68 dfsbcq 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6968imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7067, 69syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7135, 39, 703syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7271expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7372com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15
7473adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
7534, 74mpdd 40 . . . . . . . . . . . . 13
7675exlimdv 1724 . . . . . . . . . . . 12
7732, 76syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11
7877ex 434 . . . . . . . . . 10
7931, 78mpdd 40 . . . . . . . . 9
8079com23 78 . . . . . . . 8
8180alrimdv 1721 . . . . . . 7
82 nfv 1707 . . . . . . . 8
83 nfv 1707 . . . . . . . . 9
84 nfsbc1v 3347 . . . . . . . . 9
8583, 84nfim 1920 . . . . . . . 8
86 breq1 4455 . . . . . . . . 9
87 sbceq1a 3338 . . . . . . . . 9
8886, 87imbi12d 320 . . . . . . . 8
8982, 85, 88cbval 2021 . . . . . . 7
9081, 89syl6ibr 227 . . . . . 6
915, 8, 11, 17, 90finds1 6729 . . . . 5
929119.21bi 1869 . . . 4
9392rexlimiv 2943 . . 3
942, 93sylbi 195 . 2
951, 94vtoclga 3173 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808   cvv 3109  [.wsbc 3327  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  succsuc 4885   com 6700   cen 7533   cfn 7536
This theorem is referenced by:  findcard2s  7781  frfi  7785  fnfi  7818  iunfi  7828  finsschain  7847  infdiffi  8095  fin1a2lem10  8810  wunfi  9120  rexfiuz  13180  modfsummod  13608  drsdirfi  15567  fiuncmp  19904  finiunmbl  21954  mbfresfi  30061  heibor1lem  30305  pclfinclN  35674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540
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