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Theorem findcard3 7783
Description: Schema for strong induction on the cardinality of a finite set. The inductive hypothesis is that the result is true on any proper subset. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard3.1
findcard3.2
findcard3.3
Assertion
Ref Expression
findcard3
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem findcard3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 7559 . . 3
2 nnon 6706 . . . . . 6
3 eleq1 2529 . . . . . . . 8
4 breq2 4456 . . . . . . . . . 10
54imbi1d 317 . . . . . . . . 9
65albidv 1713 . . . . . . . 8
73, 6imbi12d 320 . . . . . . 7
8 rspe 2915 . . . . . . . . . . . . . 14
9 isfi 7559 . . . . . . . . . . . . . 14
108, 9sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13
11 19.21v 1729 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1211ralbii 2888 . . . . . . . . . . . . . . 15
13 ralcom4 3128 . . . . . . . . . . . . . . 15
1412, 13bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . 14
15 pssss 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
16 ssfi 7760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
17 isfi 7559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1816, 17sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1910, 15, 18syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
20 ensym 7584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2120ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
22 php3 7723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2310, 22sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
25 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
26 sdomentr 7671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
28 ensdomtr 7673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2921, 27, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
30 nnon 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3130ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
322ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
33 sdomel 7684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3431, 32, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3529, 34mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3635ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
37 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3936, 38jcad 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4039reximdv2 2928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4119, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
42 r19.29 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4342expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4441, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
45 ordom 6709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
46 ordelss 4899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4745, 46mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4847ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4948sseld 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
50 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5150impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5249, 51syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5352rexlimdv 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5444, 53syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5554ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5655com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15
5756alimdv 1709 . . . . . . . . . . . . . 14
5814, 57syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13
59 findcard3.3 . . . . . . . . . . . . 13
6010, 58, 59sylsyld 56 . . . . . . . . . . . 12
6160impancom 440 . . . . . . . . . . 11
6261alrimiv 1719 . . . . . . . . . 10
6362expcom 435 . . . . . . . . 9
64 breq1 4455 . . . . . . . . . . 11
65 findcard3.1 . . . . . . . . . . 11
6664, 65imbi12d 320 . . . . . . . . . 10
6766cbvalv 2023 . . . . . . . . 9
6863, 67syl6ibr 227 . . . . . . . 8
6968a1i 11 . . . . . . 7
707, 69tfis2 6691 . . . . . 6
712, 70mpcom 36 . . . . 5
7271rgen 2817 . . . 4
73 r19.29 2992 . . . 4
7472, 73mpan 670 . . 3
751, 74sylbi 195 . 2
76 breq1 4455 . . . . . 6
77 findcard3.2 . . . . . 6
7876, 77imbi12d 320 . . . . 5
7978spcgv 3194 . . . 4
8079impd 431 . . 3
8180rexlimdvw 2952 . 2
8275, 81mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  C.wpss 3476   class class class wbr 4452  Ordword 4882   con0 4883   com 6700   cen 7533   csdm 7535   cfn 7536
This theorem is referenced by:  marypha1lem  7913  pgpfac1  17131  pgpfac  17135  fbfinnfr  20342  wilthlem3  23344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540
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