Theorem fineqvlem 7754

Description: Lemma for fineqv 7755. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fineqvlem

Proof of Theorem fineqvlem

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4636	. . . 4
2	1	adantr 465	. . 3
3		pwexg 4636	. . 3
4	2, 3	syl 16	. 2
5		ssrab2 3584	. . . . 5
6		elpw2g 4615	. . . . . 6
7	2, 6	syl 16	. . . . 5
8	5, 7	mpbiri 233	. . . 4
9	8	a1d 25	. . 3
10		isinf 7753	. . . . . . . . 9
11	10	r19.21bi 2826	. . . . . . . 8
12	11	ad2ant2lr 747	. . . . . . 7
13		selpw 4019	. . . . . . . . . . 11
14	13	biimpri 206	. . . . . . . . . 10
15	14	anim1i 568	. . . . . . . . 9
16		breq1 4455	. . . . . . . . . 10
17	16	elrab 3257	. . . . . . . . 9
18	15, 17	sylibr 212	. . . . . . . 8
19	18	eximi 1656	. . . . . . 7
20	12, 19	syl 16	. . . . . 6
21		eleq2 2530	. . . . . . . . 9
22	21	biimpcd 224	. . . . . . . 8
23	22	adantl 466	. . . . . . 7
24	17	simprbi 464	. . . . . . . . . 10
25		breq1 4455	. . . . . . . . . . . 12
26	25	elrab 3257	. . . . . . . . . . 11
27	26	simprbi 464	. . . . . . . . . 10
28		ensym 7584	. . . . . . . . . . 11
29		entr 7587	. . . . . . . . . . 11
30	28, 29	sylan 471	. . . . . . . . . 10
31	24, 27, 30	syl2an 477	. . . . . . . . 9
32	31	ex 434	. . . . . . . 8
33	32	adantl 466	. . . . . . 7
34		nneneq 7720	. . . . . . . . 9
35	34	biimpd 207	. . . . . . . 8
36	35	ad2antlr 726	. . . . . . 7
37	23, 33, 36	3syld 55	. . . . . 6
38	20, 37	exlimddv 1726	. . . . 5
39		breq2 4456	. . . . . 6
40	39	rabbidv 3101	. . . . 5
41	38, 40	impbid1 203	. . . 4
42	41	ex 434	. . 3
43	9, 42	dom2d 7576	. 2
44	4, 43	mpd 15	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {crab 2811  cvv 3109  C_wss 3475  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  com 6700  cen 7533  cdom 7534  cfn 7536

This theorem is referenced by:  fineqv  7755  isfin1-2  8786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540