Theorem finsschain 7847

Description: A finite subset of the union of a superset chain is a subset of some element of the chain. A useful preliminary result for alexsub 20545 and others. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finsschain

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem finsschain

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3524	. . . . . 6
2		sseq1 3524	. . . . . . 7
3	2	rexbidv 2968	. . . . . 6
4	1, 3	imbi12d 320	. . . . 5
5	4	imbi2d 316	. . . 4
6		sseq1 3524	. . . . . 6
7		sseq1 3524	. . . . . . 7
8	7	rexbidv 2968	. . . . . 6
9	6, 8	imbi12d 320	. . . . 5
10	9	imbi2d 316	. . . 4
11		sseq1 3524	. . . . . 6
12		sseq1 3524	. . . . . . 7
13	12	rexbidv 2968	. . . . . 6
14	11, 13	imbi12d 320	. . . . 5
15	14	imbi2d 316	. . . 4
16		sseq1 3524	. . . . . 6
17		sseq1 3524	. . . . . . 7
18	17	rexbidv 2968	. . . . . 6
19	16, 18	imbi12d 320	. . . . 5
20	19	imbi2d 316	. . . 4
21		0ss 3814	. . . . . . . 8
22	21	rgenw 2818	. . . . . . 7
23		r19.2z 3918	. . . . . . 7
24	22, 23	mpan2 671	. . . . . 6
25	24	adantr 465	. . . . 5
26	25	a1d 25	. . . 4
27		id 22	. . . . . . . . 9
28	27	unssad 3680	. . . . . . . 8
29	28	imim1i 58	. . . . . . 7
30		sseq2 3525	. . . . . . . . . . 11
31	30	cbvrexv 3085	. . . . . . . . . 10
32		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	unssbd 3681	. . . . . . . . . . . . 13
34		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . 14
35	34	snss 4154	. . . . . . . . . . . . 13
36	33, 35	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12
37		eluni2 4253	. . . . . . . . . . . 12
38	36, 37	sylib 196	. . . . . . . . . . 11
39		reeanv 3025	. . . . . . . . . . . 12
40		simpllr 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16
41		simprlr 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16
42		simprll 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16
43		sorpssun 6587	. . . . . . . . . . . . . . . 16
44	40, 41, 42, 43	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15
45		simprrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16
46		simprrl 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
47	46	snssd 4175	. . . . . . . . . . . . . . . 16
48		unss12 3675	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	45, 47, 48	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15
50		sseq2 3525	. . . . . . . . . . . . . . . 16
51	50	rspcev 3210	. . . . . . . . . . . . . . 15
52	44, 49, 51	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14
53	52	expr 615	. . . . . . . . . . . . 13
54	53	rexlimdvva 2956	. . . . . . . . . . . 12
55	39, 54	syl5bir 218	. . . . . . . . . . 11
56	38, 55	mpand 675	. . . . . . . . . 10
57	31, 56	syl5bi 217	. . . . . . . . 9
58	57	ex 434	. . . . . . . 8
59	58	a2d 26	. . . . . . 7
60	29, 59	syl5 32	. . . . . 6
61	60	a2i 13	. . . . 5
62	61	a1i 11	. . . 4
63	5, 10, 15, 20, 26, 62	findcard2 7780	. . 3
64	63	com12 31	. 2
65	64	imp32 433	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  u.cun 3473  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029  U.cuni 4249  Orwor 4804  crpss 6579  cfn 7536

This theorem is referenced by:  alexsubALTlem2  20548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-rpss 6580  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540