MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finsschain Unicode version

Theorem finsschain 7847
Description: A finite subset of the union of a superset chain is a subset of some element of the chain. A useful preliminary result for alexsub 20545 and others. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
finsschain
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem finsschain
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3524 . . . . . 6
2 sseq1 3524 . . . . . . 7
32rexbidv 2968 . . . . . 6
41, 3imbi12d 320 . . . . 5
54imbi2d 316 . . . 4
6 sseq1 3524 . . . . . 6
7 sseq1 3524 . . . . . . 7
87rexbidv 2968 . . . . . 6
96, 8imbi12d 320 . . . . 5
109imbi2d 316 . . . 4
11 sseq1 3524 . . . . . 6
12 sseq1 3524 . . . . . . 7
1312rexbidv 2968 . . . . . 6
1411, 13imbi12d 320 . . . . 5
1514imbi2d 316 . . . 4
16 sseq1 3524 . . . . . 6
17 sseq1 3524 . . . . . . 7
1817rexbidv 2968 . . . . . 6
1916, 18imbi12d 320 . . . . 5
2019imbi2d 316 . . . 4
21 0ss 3814 . . . . . . . 8
2221rgenw 2818 . . . . . . 7
23 r19.2z 3918 . . . . . . 7
2422, 23mpan2 671 . . . . . 6
2524adantr 465 . . . . 5
2625a1d 25 . . . 4
27 id 22 . . . . . . . . 9
2827unssad 3680 . . . . . . . 8
2928imim1i 58 . . . . . . 7
30 sseq2 3525 . . . . . . . . . . 11
3130cbvrexv 3085 . . . . . . . . . 10
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
3332unssbd 3681 . . . . . . . . . . . . 13
34 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14
3534snss 4154 . . . . . . . . . . . . 13
3633, 35sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12
37 eluni2 4253 . . . . . . . . . . . 12
3836, 37sylib 196 . . . . . . . . . . 11
39 reeanv 3025 . . . . . . . . . . . 12
40 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16
41 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16
42 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16
43 sorpssun 6587 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4440, 41, 42, 43syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15
45 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16
46 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4746snssd 4175 . . . . . . . . . . . . . . . 16
48 unss12 3675 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4945, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 sseq2 3525 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5150rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . 15
5244, 49, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
5352expr 615 . . . . . . . . . . . . 13
5453rexlimdvva 2956 . . . . . . . . . . . 12
5539, 54syl5bir 218 . . . . . . . . . . 11
5638, 55mpand 675 . . . . . . . . . 10
5731, 56syl5bi 217 . . . . . . . . 9
5857ex 434 . . . . . . . 8
5958a2d 26 . . . . . . 7
6029, 59syl5 32 . . . . . 6
6160a2i 13 . . . . 5
6261a1i 11 . . . 4
635, 10, 15, 20, 26, 62findcard2 7780 . . 3
6463com12 31 . 2
6564imp32 433 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  U.cuni 4249  Orwor 4804   crpss 6579   cfn 7536
This theorem is referenced by:  alexsubALTlem2  20548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-rpss 6580  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540
  Copyright terms: Public domain W3C validator