Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fipreima Unicode version

Theorem fipreima 7846
 Description: Given a finite subset of the range of a function, there exists a finite subset of the domain whose image is . (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipreima
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem fipreima
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 998 . . 3
2 dfss3 3493 . . . . . 6
3 fvelrnb 5920 . . . . . . 7
43ralbidv 2896 . . . . . 6
52, 4syl5bb 257 . . . . 5
65biimpa 484 . . . 4
8 fveq2 5871 . . . . 5
98eqeq1d 2459 . . . 4
109ac6sfi 7784 . . 3
111, 7, 10syl2anc 661 . 2
12 imassrn 5353 . . . . . . 7
13 frn 5742 . . . . . . 7
1412, 13syl5ss 3514 . . . . . 6
15 vex 3112 . . . . . . . 8
16 imaexg 6737 . . . . . . . 8
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7
1817elpw 4018 . . . . . 6
1914, 18sylibr 212 . . . . 5
2019ad2antrl 727 . . . 4
21 ffun 5738 . . . . . 6
2221ad2antrl 727 . . . . 5
23 simpl3 1001 . . . . 5
24 imafi 7833 . . . . 5
2522, 23, 24syl2anc 661 . . . 4
2620, 25elind 3687 . . 3
27 fvco3 5950 . . . . . . . . . . 11
28 fvresi 6097 . . . . . . . . . . . 12
2928adantl 466 . . . . . . . . . . 11
3027, 29eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10
3130ralbidva 2893 . . . . . . . . 9
3231biimprd 223 . . . . . . . 8
3332adantl 466 . . . . . . 7
3433impr 619 . . . . . 6
35 simpl1 999 . . . . . . . 8
36 ffn 5736 . . . . . . . . 9
3736ad2antrl 727 . . . . . . . 8
3813ad2antrl 727 . . . . . . . 8
39 fnco 5694 . . . . . . . 8
4035, 37, 38, 39syl3anc 1228 . . . . . . 7
41 fnresi 5703 . . . . . . 7
42 eqfnfv 5981 . . . . . . 7
4340, 41, 42sylancl 662 . . . . . 6
4434, 43mpbird 232 . . . . 5
4544imaeq1d 5341 . . . 4
46 imaco 5517 . . . 4
47 ssid 3522 . . . . 5
48 resiima 5356 . . . . 5
4947, 48ax-mp 5 . . . 4
5045, 46, 493eqtr3g 2521 . . 3
51 imaeq2 5338 . . . . 5
5251eqeq1d 2459 . . . 4
5352rspcev 3210 . . 3
5426, 50, 53syl2anc 661 . 2
5511, 54exlimddv 1726 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  ~Pcpw 4012   cid 4795  rancrn 5005  |cres 5006  "cima 5007  o.ccom 5008  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  cfv 5593   cfn 7536 This theorem is referenced by:  fodomfi2  8462  cmpfi  19908  elrfirn  30627  lmhmfgsplit  31032  hbtlem6  31078 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540
 Copyright terms: Public domain W3C validator