Theorem fipreima 7846

Description: Given a finite subset of the range of a function, there exists a finite subset of the domain whose image is . (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fipreima

Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem fipreima

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 998	. . 3
2		dfss3 3493	. . . . . 6
3		fvelrnb 5920	. . . . . . 7
4	3	ralbidv 2896	. . . . . 6
5	2, 4	syl5bb 257	. . . . 5
6	5	biimpa 484	. . . 4
7	6	3adant3 1016	. . 3
8		fveq2 5871	. . . . 5
9	8	eqeq1d 2459	. . . 4
10	9	ac6sfi 7784	. . 3
11	1, 7, 10	syl2anc 661	. 2
12		imassrn 5353	. . . . . . 7
13		frn 5742	. . . . . . 7
14	12, 13	syl5ss 3514	. . . . . 6
15		vex 3112	. . . . . . . 8
16		imaexg 6737	. . . . . . . 8
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7
18	17	elpw 4018	. . . . . 6
19	14, 18	sylibr 212	. . . . 5
20	19	ad2antrl 727	. . . 4
21		ffun 5738	. . . . . 6
22	21	ad2antrl 727	. . . . 5
23		simpl3 1001	. . . . 5
24		imafi 7833	. . . . 5
25	22, 23, 24	syl2anc 661	. . . 4
26	20, 25	elind 3687	. . 3
27		fvco3 5950	. . . . . . . . . . 11
28		fvresi 6097	. . . . . . . . . . . 12
29	28	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
30	27, 29	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . 10
31	30	ralbidva 2893	. . . . . . . . 9
32	31	biimprd 223	. . . . . . . 8
33	32	adantl 466	. . . . . . 7
34	33	impr 619	. . . . . 6
35		simpl1 999	. . . . . . . 8
36		ffn 5736	. . . . . . . . 9
37	36	ad2antrl 727	. . . . . . . 8
38	13	ad2antrl 727	. . . . . . . 8
39		fnco 5694	. . . . . . . 8
40	35, 37, 38, 39	syl3anc 1228	. . . . . . 7
41		fnresi 5703	. . . . . . 7
42		eqfnfv 5981	. . . . . . 7
43	40, 41, 42	sylancl 662	. . . . . 6
44	34, 43	mpbird 232	. . . . 5
45	44	imaeq1d 5341	. . . 4
46		imaco 5517	. . . 4
47		ssid 3522	. . . . 5
48		resiima 5356	. . . . 5
49	47, 48	ax-mp 5	. . . 4
50	45, 46, 49	3eqtr3g 2521	. . 3
51		imaeq2 5338	. . . . 5
52	51	eqeq1d 2459	. . . 4
53	52	rspcev 3210	. . 3
54	26, 50, 53	syl2anc 661	. 2
55	11, 54	exlimddv 1726	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  cid 4795  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  o.ccom 5008  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  cfn 7536

This theorem is referenced by:  fodomfi2  8462  cmpfi  19908  elrfirn  30627  lmhmfgsplit  31032  hbtlem6  31078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540