MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fipwuni Unicode version

Theorem fipwuni 7906
Description: The set of finite intersections of a set is contained in the powerset of the union of the elements of . (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipwuni

Proof of Theorem fipwuni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexg 6597 . . . . 5
2 pwexg 4636 . . . . 5
31, 2syl 16 . . . 4
4 pwuni 4683 . . . 4
5 fiss 7904 . . . 4
63, 4, 5sylancl 662 . . 3
7 ssinss1 3725 . . . . . . 7
8 vex 3112 . . . . . . . 8
98elpw 4018 . . . . . . 7
108inex1 4593 . . . . . . . 8
1110elpw 4018 . . . . . . 7
127, 9, 113imtr4i 266 . . . . . 6
1312adantr 465 . . . . 5
1413rgen2a 2884 . . . 4
15 inficl 7905 . . . . 5
163, 15syl 16 . . . 4
1714, 16mpbii 211 . . 3
186, 17sseqtrd 3539 . 2
19 fvprc 5865 . . 3
20 0ss 3814 . . 3
2119, 20syl6eqss 3553 . 2
2218, 21pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  `cfv 5593   cfi 7890
This theorem is referenced by:  fiuni  7908  ordtbas  19693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540  df-fi 7891
  Copyright terms: Public domain W3C validator