MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fissuni Unicode version

Theorem fissuni 7845
Description: A finite subset of a union is covered by finitely many elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fissuni
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fissuni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . 3
2 dfss3 3493 . . . . 5
3 eluni2 4253 . . . . . 6
43ralbii 2888 . . . . 5
52, 4sylbb 197 . . . 4
65adantr 465 . . 3
7 eleq2 2530 . . . 4
87ac6sfi 7784 . . 3
91, 6, 8syl2anc 661 . 2
10 imassrn 5353 . . . . . . 7
11 frn 5742 . . . . . . 7
1210, 11syl5ss 3514 . . . . . 6
13 vex 3112 . . . . . . . 8
14 imaexg 6737 . . . . . . . 8
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7
1615elpw 4018 . . . . . 6
1712, 16sylibr 212 . . . . 5
1817ad2antrl 727 . . . 4
19 ffun 5738 . . . . . 6
2019ad2antrl 727 . . . . 5
21 simplr 755 . . . . 5
22 imafi 7833 . . . . 5
2320, 21, 22syl2anc 661 . . . 4
2418, 23elind 3687 . . 3
25 ffn 5736 . . . . . . . . . . 11
2625adantr 465 . . . . . . . . . 10
27 ssid 3522 . . . . . . . . . . 11
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10
29 simpr 461 . . . . . . . . . 10
30 fnfvima 6150 . . . . . . . . . 10
3126, 28, 29, 30syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
32 elssuni 4279 . . . . . . . . 9
3331, 32syl 16 . . . . . . . 8
3433sseld 3502 . . . . . . 7
3534ralimdva 2865 . . . . . 6
3635imp 429 . . . . 5
37 dfss3 3493 . . . . 5
3836, 37sylibr 212 . . . 4
3938adantl 466 . . 3
40 unieq 4257 . . . . 5
4140sseq2d 3531 . . . 4
4241rspcev 3210 . . 3
4324, 39, 42syl2anc 661 . 2
449, 43exlimddv 1726 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  rancrn 5005  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593   cfn 7536
This theorem is referenced by:  isacs3lem  15796  isnacs3  30642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540
  Copyright terms: Public domain W3C validator