Theorem fissuni 7845

Description: A finite subset of a union is covered by finitely many elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fissuni

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fissuni

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . 3
2		dfss3 3493	. . . . 5
3		eluni2 4253	. . . . . 6
4	3	ralbii 2888	. . . . 5
5	2, 4	sylbb 197	. . . 4
6	5	adantr 465	. . 3
7		eleq2 2530	. . . 4
8	7	ac6sfi 7784	. . 3
9	1, 6, 8	syl2anc 661	. 2
10		imassrn 5353	. . . . . . 7
11		frn 5742	. . . . . . 7
12	10, 11	syl5ss 3514	. . . . . 6
13		vex 3112	. . . . . . . 8
14		imaexg 6737	. . . . . . . 8
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7
16	15	elpw 4018	. . . . . 6
17	12, 16	sylibr 212	. . . . 5
18	17	ad2antrl 727	. . . 4
19		ffun 5738	. . . . . 6
20	19	ad2antrl 727	. . . . 5
21		simplr 755	. . . . 5
22		imafi 7833	. . . . 5
23	20, 21, 22	syl2anc 661	. . . 4
24	18, 23	elind 3687	. . 3
25		ffn 5736	. . . . . . . . . . 11
26	25	adantr 465	. . . . . . . . . 10
27		ssid 3522	. . . . . . . . . . 11
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10
29		simpr 461	. . . . . . . . . 10
30		fnfvima 6150	. . . . . . . . . 10
31	26, 28, 29, 30	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
32		elssuni 4279	. . . . . . . . 9
33	31, 32	syl 16	. . . . . . . 8
34	33	sseld 3502	. . . . . . 7
35	34	ralimdva 2865	. . . . . 6
36	35	imp 429	. . . . 5
37		dfss3 3493	. . . . 5
38	36, 37	sylibr 212	. . . 4
39	38	adantl 466	. . 3
40		unieq 4257	. . . . 5
41	40	sseq2d 3531	. . . 4
42	41	rspcev 3210	. . 3
43	24, 39, 42	syl2anc 661	. 2
44	9, 43	exlimddv 1726	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  rancrn 5005  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  cfn 7536

This theorem is referenced by:  isacs3lem  15796  isnacs3  30642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540