Theorem fisupcl 7948

Description: A nonempty finite set contains its supremum. (Contributed by Jeff Madsen, 9-May-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fisupcl

Proof of Theorem fisupcl

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . 3
2	1	supval2 7935	. 2
3		simpr3 1004	. . . 4
4		breq2 4456	. . . . . . . . . . 11
5	4	rspcev 3210	. . . . . . . . . 10
6	5	ex 434	. . . . . . . . 9
7	6	ralrimivw 2872	. . . . . . . 8
8	7	a1d 25	. . . . . . 7
9	8	anim2d 565	. . . . . 6
10	9	rgen 2817	. . . . 5
11	10	a1i 11	. . . 4
12		soss 4823	. . . . . 6
13	3, 1, 12	sylc 60	. . . . 5
14		simpr1 1002	. . . . 5
15		simpr2 1003	. . . . 5
16		fisupg 7788	. . . . 5
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1228	. . . 4
18		fisup2g 7947	. . . . . 6
19		ssrexv 3564	. . . . . 6
20	3, 18, 19	sylc 60	. . . . 5
21	1, 20	supeu 7934	. . . 4
22		riotass2 6284	. . . 4
23	3, 11, 17, 21, 22	syl22anc 1229	. . 3
24	13, 17	supeu 7934	. . . 4
25		riotacl 6272	. . . 4
26	24, 25	syl 16	. . 3
27	23, 26	eqeltrrd 2546	. 2
28	2, 27	eqeltrd 2545	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  E!wreu 2809  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  Orwor 4804  iota_crio 6256  cfn 7536  supcsup 7920

This theorem is referenced by:  supgtoreq  7949  supfirege  10550  fseqsupcl  12087  fsuppmapnn0fiublem  12096  isercolllem2  13488  fsumcvg3  13551  mertenslem2  13694  prdsmet  20873  prdsbl  20994  mdegldg  22466  mdegcl  22469  aannenlem2  22725  aalioulem2  22729  ssnnssfz  27597  oddpwdc  28293  ballotlemiex  28440  erdszelem5  28639  heicant  30049  totbndbnd  30285  prdsbnd  30289  rencldnfilem  30754  aomclem2  31001  fourierdlem25  31914  fourierdlem31  31920  fourierdlem37  31926  fourierdlem42  31931  etransclem48  32065  ssnn0ssfz  32938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540  df-sup 7921