Theorem fladdz 11958

Description: An integer can be moved in and out of the floor of a sum. (Contributed by NM, 27-Apr-2005.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fladdz

Proof of Theorem fladdz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reflcl 11933	. . . 4
2	1	adantr 465	. . 3
3		simpl 457	. . 3
4		simpr 461	. . . 4
5	4	zred 10994	. . 3
6		flle 11936	. . . 4
7	6	adantr 465	. . 3
8	2, 3, 5, 7	leadd1dd 10191	. 2
9		1red 9632	. . . . 5
10	2, 9	readdcld 9644	. . . 4
11		flltp1 11937	. . . . 5
12	11	adantr 465	. . . 4
13	3, 10, 5, 12	ltadd1dd 10188	. . 3
14	2	recnd 9643	. . . 4
15		1cnd 9633	. . . 4
16	5	recnd 9643	. . . 4
17	14, 15, 16	add32d 9825	. . 3
18	13, 17	breqtrd 4476	. 2
19	3, 5	readdcld 9644	. . 3
20	3	flcld 11935	. . . 4
21	20, 4	zaddcld 10998	. . 3
22		flbi 11952	. . 3
23	19, 21, 22	syl2anc 661	. 2
24	8, 18, 23	mpbir2and 922	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cr 9512  1c1 9514  caddc 9516  clt 9649  cle 9650  cz 10889  cfl 11927

This theorem is referenced by:  flzadd  11959  modcyc  12031  bitsmod  14086  fldivp1  14416  ppip1le  23435  dya2ub  28241  fourierdlem4  31893  fourierdlem47  31936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fl 11929