Theorem fldiv 11987

Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv

Proof of Theorem fldiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. . . . . . . . 9
2		eqid 2457	. . . . . . . . 9
3	1, 2	intfrac2 11985	. . . . . . . 8
4	3	simp3d 1010	. . . . . . 7
5	4	adantr 465	. . . . . 6
6	5	oveq1d 6311	. . . . 5
7		reflcl 11933	. . . . . . . 8
8	7	recnd 9643	. . . . . . 7
9	8	adantr 465	. . . . . 6
10		resubcl 9906	. . . . . . . . 9
11	7, 10	mpdan 668	. . . . . . . 8
12	11	recnd 9643	. . . . . . 7
13	12	adantr 465	. . . . . 6
14		nncn 10569	. . . . . . . 8
15		nnne0 10593	. . . . . . . 8
16	14, 15	jca 532	. . . . . . 7
17	16	adantl 466	. . . . . 6
18		divdir 10255	. . . . . 6
19	9, 13, 17, 18	syl3anc 1228	. . . . 5
20	6, 19	eqtrd 2498	. . . 4
21		flcl 11932	. . . . . 6
22		eqid 2457	. . . . . . . 8
23		eqid 2457	. . . . . . . 8
24	22, 23	intfracq 11986	. . . . . . 7
25	24	simp3d 1010	. . . . . 6
26	21, 25	sylan 471	. . . . 5
27	26	oveq1d 6311	. . . 4
28	7	adantr 465	. . . . . . . 8
29		nnre 10568	. . . . . . . . 9
30	29	adantl 466	. . . . . . . 8
31	15	adantl 466	. . . . . . . 8
32	28, 30, 31	redivcld 10397	. . . . . . 7
33		reflcl 11933	. . . . . . 7
34	32, 33	syl 16	. . . . . 6
35	34	recnd 9643	. . . . 5
36	32, 34	resubcld 10012	. . . . . 6
37	36	recnd 9643	. . . . 5
38	11	adantr 465	. . . . . . 7
39	38, 30, 31	redivcld 10397	. . . . . 6
40	39	recnd 9643	. . . . 5
41	35, 37, 40	addassd 9639	. . . 4
42	20, 27, 41	3eqtrd 2502	. . 3
43	42	fveq2d 5875	. 2
44	24	simp1d 1008	. . . . 5
45	21, 44	sylan 471	. . . 4
46		fracge0 11941	. . . . . 6
47	11, 46	jca 532	. . . . 5
48		nngt0 10590	. . . . . 6
49	29, 48	jca 532	. . . . 5
50		divge0 10436	. . . . 5
51	47, 49, 50	syl2an 477	. . . 4
52	36, 39, 45, 51	addge0d 10153	. . 3
53		peano2rem 9909	. . . . . . . . . 10
54	29, 53	syl 16	. . . . . . . . 9
55	54, 29, 15	redivcld 10397	. . . . . . . 8
56		nnrecre 10597	. . . . . . . 8
57	55, 56	jca 532	. . . . . . 7
58	57	adantl 466	. . . . . 6
59	36, 39, 58	jca31 534	. . . . 5
60	24	simp2d 1009	. . . . . . 7
61	21, 60	sylan 471	. . . . . 6
62		fraclt1 11939	. . . . . . . 8
63	62	adantr 465	. . . . . . 7
64		1re 9616	. . . . . . . . 9
65		ltdiv1 10431	. . . . . . . . 9
66	64, 65	mp3an2 1312	. . . . . . . 8
67	11, 49, 66	syl2an 477	. . . . . . 7
68	63, 67	mpbid 210	. . . . . 6
69	61, 68	jca 532	. . . . 5
70		leltadd 10061	. . . . 5
71	59, 69, 70	sylc 60	. . . 4
72		ax-1cn 9571	. . . . . . . 8
73		npcan 9852	. . . . . . . 8
74	14, 72, 73	sylancl 662	. . . . . . 7
75	74	oveq1d 6311	. . . . . 6
76	54	recnd 9643	. . . . . . 7
77		divdir 10255	. . . . . . . 8
78	72, 77	mp3an2 1312	. . . . . . 7
79	76, 14, 15, 78	syl12anc 1226	. . . . . 6
80	14, 15	dividd 10343	. . . . . 6
81	75, 79, 80	3eqtr3d 2506	. . . . 5
82	81	adantl 466	. . . 4
83	71, 82	breqtrd 4476	. . 3
84	32	flcld 11935	. . . 4
85	36, 39	readdcld 9644	. . . 4
86		flbi2 11953	. . . 4
87	84, 85, 86	syl2anc 661	. . 3
88	52, 83, 87	mpbir2and 922	. 2
89	43, 88	eqtr2d 2499	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  cdiv 10231  cn 10561  cz 10889  cfl 11927

This theorem is referenced by:  fldiv2  11988  modmulnn  12013  digit2  12299  bitsp1  14081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fl 11929