MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldivp1 Unicode version

Theorem fldivp1 14416
Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fldivp1

Proof of Theorem fldivp1
StepHypRef Expression
1 nnz 10911 . . . . . . . . . 10
21adantl 466 . . . . . . . . 9
3 nnne0 10593 . . . . . . . . . 10
43adantl 466 . . . . . . . . 9
5 peano2z 10930 . . . . . . . . . 10
65adantr 465 . . . . . . . . 9
7 dvdsval2 13989 . . . . . . . . 9
82, 4, 6, 7syl3anc 1228 . . . . . . . 8
98biimpa 484 . . . . . . 7
10 flid 11945 . . . . . . 7
119, 10syl 16 . . . . . 6
12 nnm1nn0 10862 . . . . . . . . . 10
1312nn0red 10878 . . . . . . . . 9
1412nn0ge0d 10880 . . . . . . . . 9
15 nnre 10568 . . . . . . . . 9
16 nngt0 10590 . . . . . . . . 9
17 divge0 10436 . . . . . . . . 9
1813, 14, 15, 16, 17syl22anc 1229 . . . . . . . 8
1918ad2antlr 726 . . . . . . 7
2015ltm1d 10503 . . . . . . . . . 10
21 nncn 10569 . . . . . . . . . . 11
2221mulid1d 9634 . . . . . . . . . 10
2320, 22breqtrrd 4478 . . . . . . . . 9
24 1re 9616 . . . . . . . . . . 11
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10
26 ltdivmul 10442 . . . . . . . . . 10
2713, 25, 15, 16, 26syl112anc 1232 . . . . . . . . 9
2823, 27mpbird 232 . . . . . . . 8
2928ad2antlr 726 . . . . . . 7
30 nndivre 10596 . . . . . . . . . 10
3113, 30mpancom 669 . . . . . . . . 9
3231ad2antlr 726 . . . . . . . 8
33 flbi2 11953 . . . . . . . 8
349, 32, 33syl2anc 661 . . . . . . 7
3519, 29, 34mpbir2and 922 . . . . . 6
3611, 35eqtr4d 2501 . . . . 5
37 zcn 10894 . . . . . . . . . . . . 13
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
39 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . 13
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
4121adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
4238, 40, 41ppncand 9994 . . . . . . . . . . 11
4342oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
446zcnd 10995 . . . . . . . . . . 11
45 subcl 9842 . . . . . . . . . . . . 13
4621, 39, 45sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12
4746adantl 466 . . . . . . . . . . 11
4844, 47, 41, 4divdird 10383 . . . . . . . . . 10
4943, 48eqtr3d 2500 . . . . . . . . 9
5038, 41, 41, 4divdird 10383 . . . . . . . . 9
5149, 50eqtr3d 2500 . . . . . . . 8
5241, 4dividd 10343 . . . . . . . . 9
5352oveq2d 6312 . . . . . . . 8
5451, 53eqtrd 2498 . . . . . . 7
5554fveq2d 5875 . . . . . 6
5655adantr 465 . . . . 5
57 zre 10893 . . . . . . . 8
58 nndivre 10596 . . . . . . . 8
5957, 58sylan 471 . . . . . . 7
60 1z 10919 . . . . . . 7
61 fladdz 11958 . . . . . . 7
6259, 60, 61sylancl 662 . . . . . 6
6362adantr 465 . . . . 5
6436, 56, 633eqtrrd 2503 . . . 4
65 zre 10893 . . . . . . . . . 10
665, 65syl 16 . . . . . . . . 9
67 nndivre 10596 . . . . . . . . 9
6866, 67sylan 471 . . . . . . . 8
6968flcld 11935 . . . . . . 7
7069zcnd 10995 . . . . . 6
7159flcld 11935 . . . . . . 7
7271zcnd 10995 . . . . . 6
7370, 72, 40subaddd 9972 . . . . 5
7473adantr 465 . . . 4
7564, 74mpbird 232 . . 3
76 iftrue 3947 . . . 4
7776adantl 466 . . 3
7875, 77eqtr4d 2501 . 2
79 zmodcl 12015 . . . . . . . . . . 11
805, 79sylan 471 . . . . . . . . . 10
8180nn0red 10878 . . . . . . . . 9
82 resubcl 9906 . . . . . . . . 9
8381, 24, 82sylancl 662 . . . . . . . 8
8483adantr 465 . . . . . . 7
85 elnn0 10822 . . . . . . . . . . . . . 14
8680, 85sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
8786ord 377 . . . . . . . . . . . 12
88 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
89 dvdsval3 13990 . . . . . . . . . . . . 13
9088, 5, 89syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12
9187, 90sylibrd 234 . . . . . . . . . . 11
9291con1d 124 . . . . . . . . . 10
9392imp 429 . . . . . . . . 9
94 nnm1nn0 10862 . . . . . . . . 9
9593, 94syl 16 . . . . . . . 8
9695nn0ge0d 10880 . . . . . . 7
9715, 16jca 532 . . . . . . . 8
9897ad2antlr 726 . . . . . . 7
99 divge0 10436 . . . . . . 7
10084, 96, 98, 99syl21anc 1227 . . . . . 6
10115adantl 466 . . . . . . . . . 10
10281ltm1d 10503 . . . . . . . . . 10
103 nnrp 11258 . . . . . . . . . . 11
104 modlt 12006 . . . . . . . . . . 11
10566, 103, 104syl2an 477 . . . . . . . . . 10
10683, 81, 101, 102, 105lttrd 9764 . . . . . . . . 9
10741mulid1d 9634 . . . . . . . . 9
108106, 107breqtrrd 4478 . . . . . . . 8
10924a1i 11 . . . . . . . . 9
11016adantl 466 . . . . . . . . 9
111 ltdivmul 10442 . . . . . . . . 9
11283, 109, 101, 110, 111syl112anc 1232 . . . . . . . 8
113108, 112mpbird 232 . . . . . . 7
114113adantr 465 . . . . . 6
115 nndivre 10596 . . . . . . . . 9
11683, 115sylancom 667 . . . . . . . 8
117 flbi2 11953 . . . . . . . 8
11869, 116, 117syl2anc 661 . . . . . . 7
119118adantr 465 . . . . . 6
120100, 114, 119mpbir2and 922 . . . . 5
121 modval 11998 . . . . . . . . . . . . . 14
12266, 103, 121syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13
123122oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
12441, 70mulcld 9637 . . . . . . . . . . . . 13
12544, 40, 124sub32d 9986 . . . . . . . . . . . 12
126123, 125eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . 11
127 pncan 9849 . . . . . . . . . . . . 13
12838, 39, 127sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12
129128oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
130126, 129eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
131130oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
13238, 124, 41, 4divsubdird 10384 . . . . . . . . 9
13370, 41, 4divcan3d 10350 . . . . . . . . . 10
134133oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
135131, 132, 1343eqtrrd 2503 . . . . . . . 8
13659recnd 9643 . . . . . . . . 9
137116recnd 9643 . . . . . . . . 9
138136, 70, 137subaddd 9972 . . . . . . . 8
139135, 138mpbid 210 . . . . . . 7
140139adantr 465 . . . . . 6
141140fveq2d 5875 . . . . 5
142120, 141eqtr3d 2500 . . . 4
14370, 72subeq0ad 9964 . . . . 5
144143adantr 465 . . . 4
145142, 144mpbird 232 . . 3
146 iffalse 3950 . . . 4
147146adantl 466 . . 3
148145, 147eqtr4d 2501 . 2
14978, 148pm2.61dan 791 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  ifcif 3941   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   crp 11249   cfl 11927   cmo 11996   cdvds 13986
This theorem is referenced by:  pcfac  14418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-dvds 13987
  Copyright terms: Public domain W3C validator