Theorem fldivp1 14416

Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fldivp1

Proof of Theorem fldivp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 10911	. . . . . . . . . 10
2	1	adantl 466	. . . . . . . . 9
3		nnne0 10593	. . . . . . . . . 10
4	3	adantl 466	. . . . . . . . 9
5		peano2z 10930	. . . . . . . . . 10
6	5	adantr 465	. . . . . . . . 9
7		dvdsval2 13989	. . . . . . . . 9
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1228	. . . . . . . 8
9	8	biimpa 484	. . . . . . 7
10		flid 11945	. . . . . . 7
11	9, 10	syl 16	. . . . . 6
12		nnm1nn0 10862	. . . . . . . . . 10
13	12	nn0red 10878	. . . . . . . . 9
14	12	nn0ge0d 10880	. . . . . . . . 9
15		nnre 10568	. . . . . . . . 9
16		nngt0 10590	. . . . . . . . 9
17		divge0 10436	. . . . . . . . 9
18	13, 14, 15, 16, 17	syl22anc 1229	. . . . . . . 8
19	18	ad2antlr 726	. . . . . . 7
20	15	ltm1d 10503	. . . . . . . . . 10
21		nncn 10569	. . . . . . . . . . 11
22	21	mulid1d 9634	. . . . . . . . . 10
23	20, 22	breqtrrd 4478	. . . . . . . . 9
24		1re 9616	. . . . . . . . . . 11
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . 10
26		ltdivmul 10442	. . . . . . . . . 10
27	13, 25, 15, 16, 26	syl112anc 1232	. . . . . . . . 9
28	23, 27	mpbird 232	. . . . . . . 8
29	28	ad2antlr 726	. . . . . . 7
30		nndivre 10596	. . . . . . . . . 10
31	13, 30	mpancom 669	. . . . . . . . 9
32	31	ad2antlr 726	. . . . . . . 8
33		flbi2 11953	. . . . . . . 8
34	9, 32, 33	syl2anc 661	. . . . . . 7
35	19, 29, 34	mpbir2and 922	. . . . . 6
36	11, 35	eqtr4d 2501	. . . . 5
37		zcn 10894	. . . . . . . . . . . . 13
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
39		ax-1cn 9571	. . . . . . . . . . . . 13
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
41	21	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
42	38, 40, 41	ppncand 9994	. . . . . . . . . . 11
43	42	oveq1d 6311	. . . . . . . . . 10
44	6	zcnd 10995	. . . . . . . . . . 11
45		subcl 9842	. . . . . . . . . . . . 13
46	21, 39, 45	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12
47	46	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
48	44, 47, 41, 4	divdird 10383	. . . . . . . . . 10
49	43, 48	eqtr3d 2500	. . . . . . . . 9
50	38, 41, 41, 4	divdird 10383	. . . . . . . . 9
51	49, 50	eqtr3d 2500	. . . . . . . 8
52	41, 4	dividd 10343	. . . . . . . . 9
53	52	oveq2d 6312	. . . . . . . 8
54	51, 53	eqtrd 2498	. . . . . . 7
55	54	fveq2d 5875	. . . . . 6
56	55	adantr 465	. . . . 5
57		zre 10893	. . . . . . . 8
58		nndivre 10596	. . . . . . . 8
59	57, 58	sylan 471	. . . . . . 7
60		1z 10919	. . . . . . 7
61		fladdz 11958	. . . . . . 7
62	59, 60, 61	sylancl 662	. . . . . 6
63	62	adantr 465	. . . . 5
64	36, 56, 63	3eqtrrd 2503	. . . 4
65		zre 10893	. . . . . . . . . 10
66	5, 65	syl 16	. . . . . . . . 9
67		nndivre 10596	. . . . . . . . 9
68	66, 67	sylan 471	. . . . . . . 8
69	68	flcld 11935	. . . . . . 7
70	69	zcnd 10995	. . . . . 6
71	59	flcld 11935	. . . . . . 7
72	71	zcnd 10995	. . . . . 6
73	70, 72, 40	subaddd 9972	. . . . 5
74	73	adantr 465	. . . 4
75	64, 74	mpbird 232	. . 3
76		iftrue 3947	. . . 4
77	76	adantl 466	. . 3
78	75, 77	eqtr4d 2501	. 2
79		zmodcl 12015	. . . . . . . . . . 11
80	5, 79	sylan 471	. . . . . . . . . 10
81	80	nn0red 10878	. . . . . . . . 9
82		resubcl 9906	. . . . . . . . 9
83	81, 24, 82	sylancl 662	. . . . . . . 8
84	83	adantr 465	. . . . . . 7
85		elnn0 10822	. . . . . . . . . . . . . 14
86	80, 85	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13
87	86	ord 377	. . . . . . . . . . . 12
88		id 22	. . . . . . . . . . . . 13
89		dvdsval3 13990	. . . . . . . . . . . . 13
90	88, 5, 89	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . 12
91	87, 90	sylibrd 234	. . . . . . . . . . 11
92	91	con1d 124	. . . . . . . . . 10
93	92	imp 429	. . . . . . . . 9
94		nnm1nn0 10862	. . . . . . . . 9
95	93, 94	syl 16	. . . . . . . 8
96	95	nn0ge0d 10880	. . . . . . 7
97	15, 16	jca 532	. . . . . . . 8
98	97	ad2antlr 726	. . . . . . 7
99		divge0 10436	. . . . . . 7
100	84, 96, 98, 99	syl21anc 1227	. . . . . 6
101	15	adantl 466	. . . . . . . . . 10
102	81	ltm1d 10503	. . . . . . . . . 10
103		nnrp 11258	. . . . . . . . . . 11
104		modlt 12006	. . . . . . . . . . 11
105	66, 103, 104	syl2an 477	. . . . . . . . . 10
106	83, 81, 101, 102, 105	lttrd 9764	. . . . . . . . 9
107	41	mulid1d 9634	. . . . . . . . 9
108	106, 107	breqtrrd 4478	. . . . . . . 8
109	24	a1i 11	. . . . . . . . 9
110	16	adantl 466	. . . . . . . . 9
111		ltdivmul 10442	. . . . . . . . 9
112	83, 109, 101, 110, 111	syl112anc 1232	. . . . . . . 8
113	108, 112	mpbird 232	. . . . . . 7
114	113	adantr 465	. . . . . 6
115		nndivre 10596	. . . . . . . . 9
116	83, 115	sylancom 667	. . . . . . . 8
117		flbi2 11953	. . . . . . . 8
118	69, 116, 117	syl2anc 661	. . . . . . 7
119	118	adantr 465	. . . . . 6
120	100, 114, 119	mpbir2and 922	. . . . 5
121		modval 11998	. . . . . . . . . . . . . 14
122	66, 103, 121	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13
123	122	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . 12
124	41, 70	mulcld 9637	. . . . . . . . . . . . 13
125	44, 40, 124	sub32d 9986	. . . . . . . . . . . 12
126	123, 125	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . 11
127		pncan 9849	. . . . . . . . . . . . 13
128	38, 39, 127	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12
129	128	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . 11
130	126, 129	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10
131	130	oveq1d 6311	. . . . . . . . 9
132	38, 124, 41, 4	divsubdird 10384	. . . . . . . . 9
133	70, 41, 4	divcan3d 10350	. . . . . . . . . 10
134	133	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9
135	131, 132, 134	3eqtrrd 2503	. . . . . . . 8
136	59	recnd 9643	. . . . . . . . 9
137	116	recnd 9643	. . . . . . . . 9
138	136, 70, 137	subaddd 9972	. . . . . . . 8
139	135, 138	mpbid 210	. . . . . . 7
140	139	adantr 465	. . . . . 6
141	140	fveq2d 5875	. . . . 5
142	120, 141	eqtr3d 2500	. . . 4
143	70, 72	subeq0ad 9964	. . . . 5
144	143	adantr 465	. . . 4
145	142, 144	mpbird 232	. . 3
146		iffalse 3950	. . . 4
147	146	adantl 466	. . 3
148	145, 147	eqtr4d 2501	. 2
149	78, 148	pm2.61dan 791	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  ifcif 3941   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  cdiv 10231  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  crp 11249  cfl 11927  cmo 11996  cdvds 13986

This theorem is referenced by:  pcfac  14418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-dvds 13987